Страница 50 номер 32, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
\(X\) — срок службы светодиодной лампы (ч): по старой технологии \(E(X) = 15\,000\), стандартное отклонение \(\sigma = 2000\);
\(\overline{X} = 16\,000\) ч — средний срок службы опытной партии из \(N = 200\) ламп, изготовленных по новой технологии (независимые наблюдения; стандартное отклонение считаем прежним — допущение модели); уровень значимости \(\alpha = 0{,}05\).
\(H_0\): \(E(X) = 15\,000\) — новая технология не увеличила срок службы; \(H_1\): \(E(X) > 15\,000\) — увеличила. Альтернатива односторонняя, поэтому критическая область — луч \(\overline{X} \geqslant 15\,000 + \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то \(E(\overline{X}) = 15\,000\), \(D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{N}\), и по неравенству Чебышёва \(P(|\overline{X} - 15\,000| \geqslant \delta) \leqslant \frac{\sigma^2}{N\delta^2}\). Луч \(\overline{X} \geqslant 15\,000 + \delta\) — часть области \(|\overline{X} - 15\,000| \geqslant \delta\), поэтому вероятность попасть в него тоже не больше этой границы; из равенства \(\frac{\sigma^2}{N\delta^2} = \alpha\) получим \(\delta = \frac{\sigma}{\sqrt{N} \cdot \sqrt{\alpha}}\):
\[\delta = \frac{2000}{\sqrt{200} \cdot \sqrt{0{,}05}} = \frac{2000}{\sqrt{10}} = 200\sqrt{10} \approx 632.\]
Критическая область: \(\overline{X} \geqslant 15\,000 + \delta \approx 15\,632\) (ч).
Средний срок службы \(16\,000\) ч больше \(15\,632\) ч, т. е. попадает в критическую область: он вырос на \(16\,000 - 15\,000 = 1000\) ч, а это больше \(\delta\). Значит, гипотезу \(H_0\) отвергаем: на уровне значимости \(0{,}05\) можно считать, что срок службы ламп увеличился.
Ответ: да, на уровне значимости \(0{,}05\) можно утверждать, что новая технология привела к увеличению срока службы ламп: средний срок \(16\,000\) ч больше границы критической области \(15\,000 + \delta \approx 15\,632\) ч.
Пусть \(X\) — срок службы светодиодной лампы (ч). По старой технологии \(E(X) = 15\,000\), стандартное отклонение \(\sigma = 2000\). Опытная партия по новой технологии: \(N = 200\) ламп, их средний срок службы \(\overline{X} = 16\,000\) ч. Сроки службы ламп будем считать независимыми наблюдениями, а стандартное отклонение — прежним (допущение модели). Уровень значимости \(\alpha = 0{,}05\).
Нулевая гипотеза \(H_0\): \(E(X) = 15\,000\) — новая технология не увеличила срок службы; альтернатива \(H_1\): \(E(X) > 15\,000\) — увеличила. Альтернатива односторонняя, поэтому критическая область — луч \(\overline{X} \geqslant 15\,000 + \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то \(E(\overline{X}) = 15\,000\), \(D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{N}\), и по неравенству Чебышёва \(P(|\overline{X} - 15\,000| \geqslant \delta) \leqslant \frac{\sigma^2}{N\delta^2}\). Луч \(\overline{X} \geqslant 15\,000 + \delta\) — часть области \(|\overline{X} - 15\,000| \geqslant \delta\), поэтому вероятность попасть в него тоже не больше этой границы. Приравняв её к уровню значимости, \(\frac{\sigma^2}{N\delta^2} = \alpha\), получим \(\delta = \frac{\sigma}{\sqrt{N} \cdot \sqrt{\alpha}}\):
\[\delta = \frac{2000}{\sqrt{200} \cdot \sqrt{0{,}05}} = \frac{2000}{\sqrt{10}} = 200\sqrt{10} \approx 632.\]
Критическая область: \(\overline{X} \geqslant 15\,000 + \delta \approx 15\,632\) (ч). Средний срок службы \(16\,000\) ч больше \(15\,632\) ч, т. е. попадает в критическую область: он вырос на \(16\,000 - 15\,000 = 1000\) ч, а это больше \(\delta\). Значит, гипотезу \(H_0\) отвергаем: на уровне значимости \(0{,}05\) можно считать, что срок службы ламп увеличился.
Ответ: да, на уровне значимости \(0{,}05\) можно утверждать, что новая технология привела к увеличению срока службы ламп: средний срок \(16\,000\) ч больше границы критической области \(15\,000 + \delta \approx 15\,632\) ч.
