Страница 50 номер 29, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Монета была брошена 100 раз. Орёл выпал 30 раз. Проверьте гипотезу о том, что монета симметрична на уровнях значимости 0,1; 0,05; 0,005.
\(p\) — вероятность выпадения орла, броски монеты — независимые испытания Бернулли; \(Y = \frac{30}{100} = 0{,}3\) — частота орлов в \(N = 100\) бросках.
\(H_0\): \(p = 0{,}5\) — монета симметрична; \(H_1\): \(p \ne 0{,}5\) (двусторонняя альтернатива); критическая область — \(|Y - 0{,}5| \geqslant \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то по неравенству Чебышёва для частоты (\(E(Y) = p\), \(D(Y) = \frac{p(1 - p)}{N}\)) вероятность попасть в критическую область \(P(|Y - 0{,}5| \geqslant \delta) \leqslant \frac{p(1 - p)}{N\delta^2}\), где \(p = 0{,}5\) — вероятность из гипотезы \(H_0\); из равенства \(\frac{p(1 - p)}{N\delta^2} = \alpha\), где \(\alpha\) — уровень значимости, получим \(\delta = \sqrt{\frac{p(1 - p)}{N\alpha}}\).
\(0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}2\) — отклонение частоты от \(0{,}5\); она попадает в критическую область, когда \(\delta \leqslant 0{,}2\).
При уровне значимости \(0{,}1\):
\[\delta = \sqrt{\frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{100 \cdot 0{,}1}} = \sqrt{0{,}025} \approx 0{,}158.\]
Отклонение \(0{,}2\) больше \(\delta\): частота \(0{,}3\) попадает в критическую область (\(Y \leqslant 0{,}5 - \delta \approx 0{,}342\)), гипотезу \(H_0\) отвергаем — на этом уровне можно считать монету несимметричной.
При уровне значимости \(0{,}05\):
\[\delta = \sqrt{\frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{100 \cdot 0{,}05}} = \sqrt{0{,}05} \approx 0{,}224.\]
Отклонение \(0{,}2\) меньше \(\delta\): частота \(0{,}3\) лежит между \(0{,}5 - \delta \approx 0{,}276\) и \(0{,}5 + \delta \approx 0{,}724\) и в критическую область не попадает, гипотезу \(H_0\) принимаем — нет оснований считать монету несимметричной.
При уровне значимости \(0{,}005\):
\[\delta = \sqrt{\frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{100 \cdot 0{,}005}} = \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}707.\]
Границы \(0{,}5 - \delta \approx -0{,}207\) и \(0{,}5 + \delta \approx 1{,}207\) лежат вне отрезка \([0;\ 1]\), а частота всегда лежит на нём: при 100 бросках критическая область пуста, и никакой результат, в том числе частота \(0{,}3\), не позволяет отвергнуть гипотезу \(H_0\). Гипотезу принимаем — нет оснований считать монету несимметричной.
В ответе учебника третьим разобран уровень значимости \(0{,}01\): при нём \(\delta = \sqrt{\frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{100 \cdot 0{,}01}} = 0{,}5 > 0{,}2\), и вывод тот же — считать монету несимметричной нельзя.
Ответ: на уровне значимости \(0{,}1\) гипотезу о симметричности монеты отвергаем — можно считать монету несимметричной; на уровнях \(0{,}05\) и \(0{,}005\) гипотезу принимаем — нет оснований считать монету несимметричной.
Монета была брошена 100 раз. Орёл выпал 30 раз. Проверьте гипотезу о том, что монета симметрична на уровнях значимости 0,1; 0,05; 0,005.
Пусть \(p\) — вероятность выпадения орла; броски монеты будем считать независимыми испытаниями Бернулли. Монета брошена \(N = 100\) раз, частота орлов \(Y = \frac{30}{100} = 0{,}3\).
Монета симметрична, если \(p = 0{,}5\). Проверяем гипотезу \(H_0\): \(p = 0{,}5\) против двусторонней альтернативы \(H_1\): \(p \ne 0{,}5\); критическая область — \(|Y - 0{,}5| \geqslant \delta\). Если гипотеза \(H_0\) верна, то по неравенству Чебышёва для частоты (\(E(Y) = p\), \(D(Y) = \frac{p(1 - p)}{N}\)) вероятность попасть в критическую область \(P(|Y - 0{,}5| \geqslant \delta) \leqslant \frac{p(1 - p)}{N\delta^2}\), где \(p = 0{,}5\) — вероятность из гипотезы \(H_0\). Приравняв эту границу к уровню значимости, \(\frac{p(1 - p)}{N\delta^2} = \alpha\), получим \(\delta = \sqrt{\frac{p(1 - p)}{N\alpha}}\). Частота отклоняется от \(0{,}5\) на \(0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}2\), поэтому она попадает в критическую область, когда \(\delta \leqslant 0{,}2\).
При уровне значимости \(0{,}1\):
\[\delta = \sqrt{\frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{100 \cdot 0{,}1}} = \sqrt{0{,}025} \approx 0{,}158.\]
Отклонение \(0{,}2\) больше \(\delta\): частота \(0{,}3\) попадает в критическую область (\(Y \leqslant 0{,}5 - \delta \approx 0{,}342\)), гипотезу \(H_0\) отвергаем — на этом уровне можно считать монету несимметричной.
При уровне значимости \(0{,}05\):
\[\delta = \sqrt{\frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{100 \cdot 0{,}05}} = \sqrt{0{,}05} \approx 0{,}224.\]
Отклонение \(0{,}2\) меньше \(\delta\): частота \(0{,}3\) лежит между \(0{,}5 - \delta \approx 0{,}276\) и \(0{,}5 + \delta \approx 0{,}724\) и в критическую область не попадает, гипотезу \(H_0\) принимаем — нет оснований считать монету несимметричной.
При уровне значимости \(0{,}005\):
\[\delta = \sqrt{\frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{100 \cdot 0{,}005}} = \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}707.\]
Границы \(0{,}5 - \delta \approx -0{,}207\) и \(0{,}5 + \delta \approx 1{,}207\) лежат вне отрезка \([0;\ 1]\), а частота всегда лежит на нём. Значит, при 100 бросках критическая область пуста: никакой результат, в том числе частота \(0{,}3\), не позволяет отвергнуть гипотезу \(H_0\). Гипотезу принимаем — нет оснований считать монету несимметричной.
В ответе учебника третьим разобран уровень значимости \(0{,}01\): при нём \(\delta = \sqrt{\frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{100 \cdot 0{,}01}} = 0{,}5 > 0{,}2\), и вывод тот же — считать монету несимметричной нельзя.
Ответ: на уровне значимости \(0{,}1\) гипотезу о симметричности монеты отвергаем — можно считать монету несимметричной; на уровнях \(0{,}05\) и \(0{,}005\) гипотезу принимаем — нет оснований считать монету несимметричной.
