Страница 87 номер 39, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Функция распределения непрерывной случайной величины \(X\): \[F(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \leqslant 0, \\ \frac{x^2}{4}, & \text{при } 0 < x \leqslant 2, \\ 1, & \text{при } x > 2. \end{cases}\]
а) При \(x \leqslant 0\) график идёт по оси \(x\), на отрезке \([0; 2]\) — по параболе \(y = \frac{x^2}{4}\) от точки \((0; 0)\) до точки \((2; 1)\), при \(x > 2\) — по прямой \(y = 1\). В граничных точках куски склеиваются непрерывно: \(\frac{0^2}{4} = 0\), \(\frac{2^2}{4} = 1\). Ещё одна точка параболы: \(F(1) = \frac{1^2}{4} = \frac14\).
б) Плотность — производная функции распределения: \(p(x) = F'(x)\). При \(x < 0\) и при \(x > 2\) функция \(F(x)\) постоянна, поэтому \(p(x) = 0\); на интервале \((0; 2)\) производная равна \(\left(\frac{x^2}{4}\right)' = \frac{2x}{4} = \frac{x}{2}\).
В точке \(x = 0\) производные слева и справа равны 0, а в точке \(x = 2\) у графика \(F(x)\) излом: производная слева равна \(\frac22 = 1\), справа — 0. В точке излома производной нет; значение плотности в отдельной точке на вероятности и интегралы не влияет, поэтому промежутки возьмём те же, что у функции \(F(x)\): \[p(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \leqslant 0, \\ \frac{x}{2}, & \text{при } 0 < x \leqslant 2, \\ 0, & \text{при } x > 2. \end{cases}\]
в) Значение 1 непрерывная величина принимает с вероятностью 0, поэтому \[\begin{aligned} &P(X > 1) = 1 - P(X \leqslant 1) = 1 - P(X < 1) = {} \\ &= 1 - F(1) = 1 - \frac14 = \frac34. \end{aligned}\]
г) Вне отрезка \([0; 2]\) плотность равна 0, поэтому интегралы берём по этому отрезку: \[\begin{aligned} E(X) &= \int_0^2 x \cdot \frac{x}{2}\,dx = \frac{x^3}{6}\,\Big|_0^2 = \frac86 = \frac43; \\ E(X^2) &= \int_0^2 x^2 \cdot \frac{x}{2}\,dx = \frac{x^4}{8}\,\Big|_0^2 = \frac{16}{8} = 2; \\ D(X) &= E(X^2) - E^2(X) = 2 - \frac{16}{9} = \frac29. \end{aligned}\]
Ответ: б) \(p(x) = \frac{x}{2}\) при \(0 < x \leqslant 2\), \(p(x) = 0\) при остальных \(x\); в) \(P(X > 1) = \frac34\); г) \(E(X) = \frac43\), \(D(X) = \frac29\).
Функция распределения непрерывной случайной величины \(X\) задана формулами: \[F(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \leqslant 0, \\ \frac{x^2}{4}, & \text{при } 0 < x \leqslant 2, \\ 1, & \text{при } x > 2. \end{cases}\]
а) При \(x \leqslant 0\) график идёт по оси \(x\), на отрезке \([0; 2]\) — по параболе \(y = \frac{x^2}{4}\) от точки \((0; 0)\) до точки \((2; 1)\), при \(x > 2\) — по прямой \(y = 1\). В граничных точках куски склеиваются непрерывно: \(\frac{0^2}{4} = 0\), \(\frac{2^2}{4} = 1\). Ещё одна точка параболы: \(F(1) = \frac{1^2}{4} = \frac14\). Построим график функции \(F(x)\):
б) Плотность распределения — производная функции распределения: \(p(x) = F'(x)\). При \(x < 0\) и при \(x > 2\) функция \(F(x)\) постоянна, поэтому \(p(x) = 0\); на интервале \((0; 2)\) производная равна \(\left(\frac{x^2}{4}\right)' = \frac{2x}{4} = \frac{x}{2}\). В точке \(x = 0\) производные слева и справа равны 0, а в точке \(x = 2\) у графика \(F(x)\) излом: производная слева равна \(\frac22 = 1\), справа — 0. В точке излома производной нет; значение плотности в отдельной точке на вероятности и интегралы не влияет, поэтому промежутки возьмём те же, что у функции \(F(x)\): \[p(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \leqslant 0, \\ \frac{x}{2}, & \text{при } 0 < x \leqslant 2, \\ 0, & \text{при } x > 2. \end{cases}\] Фигура под графиком плотности — прямоугольный треугольник с катетами 2 и 1, его площадь \(\frac12 \cdot 2 \cdot 1 = 1\), как и должно быть у плотности. Построим график плотности:
в) Значение 1 непрерывная величина принимает с вероятностью 0, поэтому \[\begin{aligned} &P(X > 1) = 1 - P(X \leqslant 1) = 1 - P(X < 1) = {} \\ &= 1 - F(1) = 1 - \frac14 = \frac34. \end{aligned}\] Тот же результат даёт интеграл плотности: \(\int_1^2 \frac{x}{2}\,dx = \frac{x^2}{4}\,\Big|_1^2 = 1 - \frac14 = \frac34\).
г) Вне отрезка \([0; 2]\) плотность равна 0, поэтому интегралы берём по этому отрезку: \[\begin{aligned} E(X) &= \int_0^2 x \cdot \frac{x}{2}\,dx = \frac{x^3}{6}\,\Big|_0^2 = \frac86 = \frac43; \\ E(X^2) &= \int_0^2 x^2 \cdot \frac{x}{2}\,dx = \frac{x^4}{8}\,\Big|_0^2 = \frac{16}{8} = 2; \\ D(X) &= E(X^2) - E^2(X) = 2 - \frac{16}{9} = \frac29. \end{aligned}\]
Ответ: б) \(p(x) = \frac{x}{2}\) при \(0 < x \leqslant 2\), \(p(x) = 0\) при остальных \(x\); в) \(P(X > 1) = \frac34\); г) \(E(X) = \frac43\), \(D(X) = \frac29\).
