Вопросы к пункту 4 «Плотность распределения вероятностей» на странице 61, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича вероятность и статистика
Вопросы к пункту 4 «Плотность распределения вероятностей».
Функция распределения \(F(x)\) непрерывной случайной величины не только непрерывна, но и дифференцируема в любой точке \(x\), кроме, может быть, особых точек — например, точек, в которых склеиваются разные формулы кусочно-заданной функции \(F(x)\) и у её графика излом.
Пример: внутри круга радиуса 1 случайным образом выбирают точку, \(R\) — расстояние от неё до центра. При \(0 \leqslant x \leqslant 1\) событие \(R < x\) — попадание точки в круг радиуса \(x\) с тем же центром, поэтому \(F(x) = \frac{\pi x^2}{\pi \cdot 1^2} = x^2\); при \(x < 0\) функция \(F(x) = 0\), при \(x > 1\) функция \(F(x) = 1\).
В точке \(x = 0\) производные слева и справа равны 0 (\(2 \cdot 0 = 0\)), и производная существует.
В точке \(x = 1\) производная слева равна \(2 \cdot 1 = 2\), а справа — 0: у графика излом, и производной в этой точке нет.
Ответ: функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема во всех точках, кроме, может быть, отдельных особых точек (например, точек излома, где склеиваются разные формулы).
Плотность распределения (плотность вероятности) непрерывной случайной величины \(X\) с функцией распределения \(F(x)\) — функция \(p(x) = F'(x)\); в точках, где производной нет, \(p(x)\) доопределяют любым способом. При малом \(\Delta x\) отношение \(\frac{P(x_0 \leqslant X \leqslant x_0 + \Delta x)}{\Delta x}\) близко к \(p(x_0)\): \(p(x_0)\) — вероятность, которая приходится на единицу длины около точки \(x_0\).
Для расстояния \(R\) из вопроса 1: \(p(x) = (x^2)' = 2x\) при \(0 < x < 1\), \(p(x) = 0\) при \(x < 0\) и при \(x > 1\); в точке излома \(x = 1\) можно взять, например, \(p(1) = 2\) или \(p(1) = 0\).
Ответ: плотностью распределения называется производная функции распределения: \(p(x) = F'(x)\) (в точках, где производной нет, \(p(x)\) доопределяют любым способом).
При \(x < -2\) событие \(X < x\) невозможно и \(F(x) = 0\), а при \(x > 2\) событие \(X < x\) достоверно и \(F(x) = 1\). На каждом из этих лучей функция \(F(x)\) постоянна, поэтому \(p(x) = F'(x) = 0\) при \(x < -2\) и при \(x > 2\).
Ответ: вне отрезка \([-2; 2]\) плотность равна 0: \(p(x) = 0\) при \(x < -2\) и при \(x > 2\).
Вопросы к пункту 4 «Плотность распределения вероятностей».
Функция распределения непрерывной случайной величины не только непрерывна, но и дифференцируема в любой точке \(x\), кроме, может быть, некоторых особых точек. Особыми бывают, например, точки, в которых склеиваются разные формулы кусочно-заданной функции \(F(x)\) и у её графика излом.
Пример: внутри круга радиуса 1 случайным образом выбирают точку, \(R\) — расстояние от неё до центра. При \(0 \leqslant x \leqslant 1\) событие \(R < x\) — попадание точки в круг радиуса \(x\) с тем же центром, поэтому \(F(x) = \frac{\pi x^2}{\pi \cdot 1^2} = x^2\); при \(x < 0\) функция \(F(x) = 0\), при \(x > 1\) функция \(F(x) = 1\). В точке \(x = 0\) производные слева и справа равны 0 (\(2 \cdot 0 = 0\)), и производная существует. В точке \(x = 1\) производная слева равна \(2 \cdot 1 = 2\), а справа — 0: у графика излом, и производной в этой точке нет.
Ответ: функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема во всех точках, кроме, может быть, отдельных особых точек (например, точек излома, где склеиваются разные формулы).
Плотностью распределения (плотностью вероятности) непрерывной случайной величины \(X\) с функцией распределения \(F(x)\) называется функция \(p(x) = F'(x)\). В точках, где производной \(F'(x)\) нет, значение \(p(x)\) можно доопределить любым способом. Смысл плотности виден из определения производной: при малом \(\Delta x\) отношение \(\frac{P(x_0 \leqslant X \leqslant x_0 + \Delta x)}{\Delta x}\) близко к \(p(x_0)\), т. е. \(p(x_0)\) — вероятность, которая приходится на единицу длины около точки \(x_0\), подобно тому как линейная плотность стержня — масса, приходящаяся на единицу длины.
Например, для расстояния \(R\) из вопроса 1 плотность \(p(x) = (x^2)' = 2x\) при \(0 < x < 1\), \(p(x) = 0\) при \(x < 0\) и при \(x > 1\); в точке излома \(x = 1\) можно взять, например, \(p(1) = 2\) или \(p(1) = 0\).
Ответ: плотностью распределения называется производная функции распределения: \(p(x) = F'(x)\) (в точках, где производной нет, \(p(x)\) доопределяют любым способом).
Если все значения \(X\) лежат на отрезке \([-2; 2]\), то при \(x < -2\) событие \(X < x\) невозможно и \(F(x) = 0\), а при \(x > 2\) событие \(X < x\) достоверно и \(F(x) = 1\). На каждом из этих лучей функция \(F(x)\) постоянна, а производная постоянной равна 0. Значит, \(p(x) = F'(x) = 0\) при \(x < -2\) и при \(x > 2\).
Ответ: вне отрезка \([-2; 2]\) плотность равна 0: \(p(x) = 0\) при \(x < -2\) и при \(x > 2\).
