Страница 51 номер 37, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
\(X\) — отметка Сони по алгебре: до этого года \(E(X) = 3{,}8\) (средний балл), стандартное отклонение \(\sigma = 0{,}5\);
\(\overline{X} = 4{,}1\) — среднее арифметическое \(N = 20\) отметок этого полугодия (независимые наблюдения; стандартное отклонение считаем прежним — допущение модели).
\(H_0\): \(E(X) = 3{,}8\) — Соня занимается так же, как раньше; \(H_1\): \(E(X) > 3{,}8\) — стала заниматься лучше. Согласиться с Соней — значит отвергнуть гипотезу \(H_0\). Альтернатива односторонняя, поэтому критическая область — луч \(\overline{X} \geqslant 3{,}8 + \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то по неравенству Чебышёва для среднего \(N\) независимых наблюдений \(P(|\overline{X} - 3{,}8| \geqslant \delta) \leqslant \frac{\sigma^2}{N\delta^2}\); луч — часть области \(|\overline{X} - 3{,}8| \geqslant \delta\), поэтому вероятность попасть в него тоже не больше этой границы. Критическое отклонение и уровень значимости \(\alpha\) связаны равенством \(\frac{\sigma^2}{N\delta^2} = \alpha\).
Среднее \(4{,}1\) попадает в критическую область, когда \(4{,}1 \geqslant 3{,}8 + \delta\), т. е. \(\delta \leqslant 0{,}3\), или \(\delta^2 \leqslant 0{,}09\). Подставим \(\delta^2 = \frac{\sigma^2}{N\alpha} = \frac{0{,}25}{20\alpha}\); число \(20\alpha\) положительно, поэтому при умножении на него знак неравенства сохраняется:
\[\begin{aligned} \frac{0{,}25}{20\alpha} &\leqslant 0{,}09; \qquad | \cdot 20\alpha \\ 0{,}25 &\leqslant 1{,}8\alpha; \qquad | : 1{,}8 \\ \frac{5}{36} &\leqslant \alpha. \end{aligned}\]
Наименьший уровень значимости \(\alpha = \frac{5}{36} \approx 0{,}139\). При нём \(\delta = 0{,}3\), граница критической области равна \(3{,}8 + 0{,}3 = 4{,}1\), и среднее \(4{,}1\) попадает в область, потому что граница ей принадлежит; при меньшем \(\alpha\) критическое отклонение больше \(0{,}3\), и среднее \(4{,}1\) в критическую область уже не попадает.
Значит, согласиться с Соней можно, только допустив вероятность ошибки первого рода — признать улучшение, которого нет, — до \(\frac{5}{36} \approx 0{,}139\). Это больше любого из обычно используемых уровней \(0{,}1\); \(0{,}05\); \(0{,}01\): на каждом из них гипотеза \(H_0\) принимается, и оснований считать, что Соня стала заниматься лучше, нет.
Ответ: на уровне значимости \(\frac{5}{36} \approx 0{,}139\) (и на любом большем); это слишком большая допустимая вероятность ошибки первого рода, и на обычных уровнях \(0{,}1\); \(0{,}05\); \(0{,}01\) согласиться с Соней нельзя — оснований считать, что она стала заниматься лучше, нет.
Пусть \(X\) — отметка Сони по алгебре. До этого года \(E(X) = 3{,}8\) (средний балл), стандартное отклонение \(\sigma = 0{,}5\). В этом полугодии Соня получила \(N = 20\) отметок, их среднее арифметическое \(\overline{X} = 4{,}1\); отметки будем считать независимыми наблюдениями, а стандартное отклонение — прежним (допущение модели).
Нулевая гипотеза \(H_0\): \(E(X) = 3{,}8\) — Соня занимается так же, как раньше; альтернатива \(H_1\): \(E(X) > 3{,}8\) — стала заниматься лучше. Согласиться с Соней — значит отвергнуть гипотезу \(H_0\). Альтернатива односторонняя, поэтому критическая область — луч \(\overline{X} \geqslant 3{,}8 + \delta\). Если гипотеза \(H_0\) верна, то по неравенству Чебышёва для среднего \(N\) независимых наблюдений \(P(|\overline{X} - 3{,}8| \geqslant \delta) \leqslant \frac{\sigma^2}{N\delta^2}\); луч — часть области \(|\overline{X} - 3{,}8| \geqslant \delta\), поэтому вероятность попасть в него тоже не больше этой границы. Критическое отклонение и уровень значимости связаны равенством \(\frac{\sigma^2}{N\delta^2} = \alpha\): чем меньше \(\alpha\), тем больше \(\delta\).
Среднее \(4{,}1\) попадает в критическую область, когда \(4{,}1 \geqslant 3{,}8 + \delta\), т. е. \(\delta \leqslant 0{,}3\), или, что то же, \(\delta^2 \leqslant 0{,}09\). Подставим \(\delta^2 = \frac{\sigma^2}{N\alpha} = \frac{0{,}25}{20\alpha}\); число \(20\alpha\) положительно, поэтому при умножении на него знак неравенства сохраняется:
\[\begin{aligned} \frac{0{,}25}{20\alpha} &\leqslant 0{,}09; \qquad | \cdot 20\alpha \\ 0{,}25 &\leqslant 1{,}8\alpha; \qquad | : 1{,}8 \\ \frac{5}{36} &\leqslant \alpha. \end{aligned}\]
Наименьший уровень значимости \(\alpha = \frac{5}{36} \approx 0{,}139\). При нём \(\delta = 0{,}3\), граница критической области равна \(3{,}8 + 0{,}3 = 4{,}1\), и среднее \(4{,}1\) попадает в область, потому что граница ей принадлежит; при меньшем \(\alpha\) критическое отклонение больше \(0{,}3\), и среднее \(4{,}1\) в критическую область уже не попадает.
Значит, согласиться с Соней можно, только допустив вероятность ошибки первого рода — признать улучшение, которого нет, — до \(\frac{5}{36} \approx 0{,}139\). Это больше любого из обычно используемых уровней \(0{,}1\); \(0{,}05\); \(0{,}01\): на каждом из них гипотеза \(H_0\) принимается, и оснований считать, что Соня стала заниматься лучше, нет.
Ответ: на уровне значимости \(\frac{5}{36} \approx 0{,}139\) (и на любом большем); это слишком большая допустимая вероятность ошибки первого рода, и на обычных уровнях \(0{,}1\); \(0{,}05\); \(0{,}01\) согласиться с Соней нельзя — оснований считать, что она стала заниматься лучше, нет.
