Страница 89 номер 50, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
\(X\) — количество вызовов в секунду; в минуту поступает в среднем 120 вызовов. Будем считать, что вероятность вызова за малый промежуток времени пропорциональна длине промежутка, а числа вызовов в непересекающихся промежутках не зависят друг от друга (допущения модели); тогда число вызовов за единицу времени имеет распределение Пуассона с параметром \(\lambda\), равным среднему числу вызовов за единицу времени.
\(\lambda = \frac{120}{60} = 2\) — среднее число вызовов в секунду.
а) \(X\) имеет распределение Пуассона \(\mathbf{P}(2)\):
\[P(X = k) = \frac{2^k}{k!}e^{-2}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots .\]
Первые значения закона распределения:
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \st \\ \hline P & e^{-2} & 2e^{-2} & 2e^{-2} & \dfrac{4}{3}e^{-2} & \dfrac{2}{3}e^{-2} & \ldots \st \\ \hline \end{array}\]
б) \(E(X) = \lambda = 2\). Распределение Пуассона — предел биномиального распределения \(\mathbf{Bin}\left(N;\ \frac{\lambda}{N}\right)\) при \(N \to \infty\); дисперсия биномиального распределения с числом испытаний \(N\) и вероятностью успеха \(\frac{\lambda}{N}\) равна \(N \cdot \frac{\lambda}{N}\left(1 - \frac{\lambda}{N}\right) = \lambda\left(1 - \frac{\lambda}{N}\right)\) и при \(N \to \infty\) стремится к \(\lambda\), поэтому \(D(X) = \lambda = 2\).
в) Событие \(X > 3\) противоположно событию \(X \leqslant 3\):
\[\begin{aligned} P(X = 0) &= e^{-2} \approx 0{,}135; \\ P(X \leqslant 2) &= P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = {} \\ &= e^{-2}(1 + 2 + 2) = 5e^{-2} \approx 0{,}677; \\ P(X > 3) &= 1 - P(X \leqslant 3) = 1 - e^{-2}\left(1 + 2 + 2 + \frac{4}{3}\right) = {} \\ &= 1 - \frac{19}{3}e^{-2} \approx 0{,}143. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(X\) имеет распределение Пуассона \(\mathbf{P}(2)\): \(P(X = k) = \frac{2^k}{k!}e^{-2}\), \(k = 0, 1, 2, \ldots\); б) \(E(X) = 2\), \(D(X) = 2\); в) \(P(X = 0) = e^{-2} \approx 0{,}135\), \(P(X \leqslant 2) = 5e^{-2} \approx 0{,}677\), \(P(X > 3) = 1 - \frac{19}{3}e^{-2} \approx 0{,}143\).
Вызовы поступают в кол-центр в случайные моменты времени — это поток случайных событий. Будем считать, что вероятность вызова за малый промежуток времени пропорциональна длине промежутка, а числа вызовов в непересекающихся промежутках не зависят друг от друга (допущения модели). Тогда число вызовов за единицу времени имеет распределение Пуассона, параметр которого \(\lambda\) равен среднему числу вызовов за единицу времени. Единица времени здесь — секунда: в минуту поступает в среднем 120 вызовов, значит, в секунду — в среднем \(\lambda = \frac{120}{60} = 2\) вызова.
а) Количество вызовов в секунду \(X\) имеет распределение Пуассона \(\mathbf{P}(2)\):
\[P(X = k) = \frac{2^k}{k!}e^{-2}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots .\]
Первые значения закона распределения:
\[\def\st{\rule[-1.1em]{0pt}{2.6em}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \st \\ \hline P & e^{-2} & 2e^{-2} & 2e^{-2} & \dfrac{4}{3}e^{-2} & \dfrac{2}{3}e^{-2} & \ldots \st \\ \hline \end{array}\]
б) Математическое ожидание величины с распределением Пуассона равно параметру: \(E(X) = \lambda = 2\). Дисперсия тоже равна \(\lambda\). Распределение Пуассона — предел биномиального распределения \(\mathbf{Bin}\left(N;\ \frac{\lambda}{N}\right)\) при \(N \to \infty\), а дисперсия \(Npq\) биномиального распределения (\(q = 1 - p\)) при \(p = \frac{\lambda}{N}\) равна \(N \cdot \frac{\lambda}{N}\left(1 - \frac{\lambda}{N}\right) = \lambda\left(1 - \frac{\lambda}{N}\right)\); при \(N \to \infty\) это выражение стремится к \(\lambda\). Поэтому \(D(X) = \lambda = 2\).
в) Событие \(X \leqslant 2\) состоит из значений 0, 1, 2; событие \(X > 3\) противоположно событию \(X \leqslant 3\), т. е. значениям 0, 1, 2, 3:
\[\begin{aligned} P(X = 0) &= e^{-2} \approx 0{,}135; \\ P(X \leqslant 2) &= P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = {} \\ &= e^{-2}(1 + 2 + 2) = 5e^{-2} \approx 0{,}677; \\ P(X > 3) &= 1 - P(X \leqslant 3) = 1 - e^{-2}\left(1 + 2 + 2 + \frac{4}{3}\right) = {} \\ &= 1 - \frac{19}{3}e^{-2} \approx 0{,}143. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(X\) имеет распределение Пуассона \(\mathbf{P}(2)\): \(P(X = k) = \frac{2^k}{k!}e^{-2}\), \(k = 0, 1, 2, \ldots\); б) \(E(X) = 2\), \(D(X) = 2\); в) \(P(X = 0) = e^{-2} \approx 0{,}135\), \(P(X \leqslant 2) = 5e^{-2} \approx 0{,}677\), \(P(X > 3) = 1 - \frac{19}{3}e^{-2} \approx 0{,}143\).
