Страница 50 номер 27, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
\(X\) — время восстановления после инфаркта (дни): до нового лекарства \(E(X) = 35\), стандартное отклонение \(\sigma = 5\);
\(\overline{X} = 30\) — среднее время восстановления \(N = 25\) пациентов, на которых испытано новое лекарство (независимые наблюдения; стандартное отклонение считаем прежним — допущение модели); уровень значимости \(\alpha = 0{,}05\).
\(H_0\): \(E(X) = 35\) — новое лекарство не ускоряет восстановление; \(H_1\): \(E(X) < 35\) — ускоряет. Запускать лекарство в массовое производство имеет смысл, только если гипотеза \(H_0\) будет отвергнута. Альтернатива односторонняя, поэтому критическая область — луч \(\overline{X} \leqslant 35 - \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то \(E(\overline{X}) = 35\), \(D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{N}\), и по неравенству Чебышёва \(P(|\overline{X} - 35| \geqslant \delta) \leqslant \frac{\sigma^2}{N\delta^2}\). Луч \(\overline{X} \leqslant 35 - \delta\) — часть области \(|\overline{X} - 35| \geqslant \delta\), поэтому вероятность попасть в него тоже не больше \(\frac{\sigma^2}{N\delta^2}\); из равенства \(\frac{\sigma^2}{N\delta^2} = \alpha\) получим \(\delta = \frac{\sigma}{\sqrt{N} \cdot \sqrt{\alpha}}\):
\[\delta = \frac{5}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{0{,}05}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}05}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47.\]
Критическая область: \(\overline{X} \leqslant 35 - \delta \approx 30{,}53\).
Среднее время 30 дней меньше \(30{,}53\), т. е. попадает в критическую область: восстановление сократилось на \(35 - 30 = 5\) дней, а это больше \(\delta\). Значит, гипотезу \(H_0\) отвергаем: на уровне значимости \(0{,}05\) можно считать, что новое лекарство ускоряет восстановление.
Ответ: да, лекарство можно запускать в массовое производство: на уровне значимости \(0{,}05\) гипотезу о том, что оно не ускоряет восстановление, отвергаем — среднее время 30 дней меньше границы критической области \(35 - \delta \approx 30{,}53\).
Пусть \(X\) — время восстановления после инфаркта (дни). До нового лекарства восстановление занимало в среднем 35 дней, т. е. \(E(X) = 35\), со стандартным отклонением \(\sigma = 5\). Лекарство испытано на \(N = 25\) пациентах (независимые наблюдения), их среднее время восстановления \(\overline{X} = 30\) дней; стандартное отклонение будем считать прежним (допущение модели). Уровень значимости \(\alpha = 0{,}05\).
Нулевая гипотеза \(H_0\): \(E(X) = 35\) — новое лекарство не ускоряет восстановление; альтернатива \(H_1\): \(E(X) < 35\) — ускоряет. Запускать лекарство в массовое производство имеет смысл, только если гипотеза \(H_0\) будет отвергнута. Альтернатива односторонняя, поэтому критическая область — луч \(\overline{X} \leqslant 35 - \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то \(E(\overline{X}) = 35\), \(D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{N}\), и по неравенству Чебышёва \(P(|\overline{X} - 35| \geqslant \delta) \leqslant \frac{\sigma^2}{N\delta^2}\). Луч \(\overline{X} \leqslant 35 - \delta\) — часть области \(|\overline{X} - 35| \geqslant \delta\), поэтому вероятность попасть в него тоже не больше \(\frac{\sigma^2}{N\delta^2}\). Приравняв эту границу к уровню значимости, \(\frac{\sigma^2}{N\delta^2} = \alpha\), получим \(\delta = \frac{\sigma}{\sqrt{N} \cdot \sqrt{\alpha}}\):
\[\delta = \frac{5}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{0{,}05}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}05}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47.\]
Критическая область: \(\overline{X} \leqslant 35 - \delta \approx 30{,}53\). Среднее время 30 дней меньше \(30{,}53\), т. е. попадает в критическую область: восстановление сократилось на \(35 - 30 = 5\) дней, а это больше \(\delta\). Значит, гипотезу \(H_0\) отвергаем: на уровне значимости \(0{,}05\) можно считать, что новое лекарство ускоряет восстановление.
Ответ: да, лекарство можно запускать в массовое производство: на уровне значимости \(0{,}05\) гипотезу о том, что оно не ускоряет восстановление, отвергаем — среднее время 30 дней меньше границы критической области \(35 - \delta \approx 30{,}53\).
