Страница 89 номер 49, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Найдите вероятность того, что значение нормально распределённой случайной величины с параметрами \(a\) и \(\sigma^2\) попадёт в промежуток: а) \((a - \sigma; a + \sigma)\); б) \((a - 2\sigma; a + 2\sigma)\); в) \((a - 3\sigma; a + 3\sigma)\).
\(X\) — нормально распределённая случайная величина с параметрами \(a\) и \(\sigma^2\) (\(\sigma > 0\)), её функция распределения \(F(x) = \Phi_0\left(\frac{x - a}{\sigma}\right) + 0{,}5\). Функция Лапласа нечётна, \(\Phi_0(-k) = -\Phi_0(k)\), поэтому для любого \(k > 0\)
\[\begin{aligned} &P(a - k\sigma < X < a + k\sigma) = F(a + k\sigma) - F(a - k\sigma) = {} \\ &= \Phi_0\left(\frac{a + k\sigma - a}{\sigma}\right) - \Phi_0\left(\frac{a - k\sigma - a}{\sigma}\right) = {} \\ &= \Phi_0(k) - \Phi_0(-k) = 2\Phi_0(k). \end{aligned}\]
а) \(P(a - \sigma < X < a + \sigma) = 2\Phi_0(1) \approx 2 \cdot 0{,}3413 = 0{,}6826\).
б) \(P(a - 2\sigma < X < a + 2\sigma) = 2\Phi_0(2) \approx 2 \cdot 0{,}4773 = 0{,}9546\).
в) \(P(a - 3\sigma < X < a + 3\sigma) = 2\Phi_0(3) \approx 2 \cdot 0{,}4987 = 0{,}9974\).
Ответ: вероятность попадания в промежуток а) \((a - \sigma;\ a + \sigma)\) равна \(2\Phi_0(1) \approx 0{,}6826\); б) \((a - 2\sigma;\ a + 2\sigma)\) — \(2\Phi_0(2) \approx 0{,}9546\); в) \((a - 3\sigma;\ a + 3\sigma)\) — \(2\Phi_0(3) \approx 0{,}9974\).
Найдите вероятность того, что значение нормально распределённой случайной величины с параметрами \(a\) и \(\sigma^2\) попадёт в промежуток: а) \((a - \sigma; a + \sigma)\); б) \((a - 2\sigma; a + 2\sigma)\); в) \((a - 3\sigma; a + 3\sigma)\).
Пусть \(X\) — нормально распределённая случайная величина с параметрами \(a\) и \(\sigma^2\) (\(\sigma > 0\)); её функция распределения \(F(x) = \Phi_0\left(\frac{x - a}{\sigma}\right) + 0{,}5\). Для любого \(k > 0\) выразим вероятность попадания \(X\) в промежуток \((a - k\sigma;\ a + k\sigma)\) через функцию Лапласа; она нечётна, поэтому \(\Phi_0(-k) = -\Phi_0(k)\):
\[\begin{aligned} &P(a - k\sigma < X < a + k\sigma) = F(a + k\sigma) - F(a - k\sigma) = {} \\ &= \Phi_0\left(\frac{a + k\sigma - a}{\sigma}\right) - \Phi_0\left(\frac{a - k\sigma - a}{\sigma}\right) = {} \\ &= \Phi_0(k) - \Phi_0(-k) = 2\Phi_0(k). \end{aligned}\]
Значения функции Лапласа берём из таблицы.
а)
\[P(a - \sigma < X < a + \sigma) = 2\Phi_0(1) \approx 2 \cdot 0{,}3413 = 0{,}6826.\]
б)
\[P(a - 2\sigma < X < a + 2\sigma) = 2\Phi_0(2) \approx 2 \cdot 0{,}4773 = 0{,}9546.\]
в)
\[P(a - 3\sigma < X < a + 3\sigma) = 2\Phi_0(3) \approx 2 \cdot 0{,}4987 = 0{,}9974.\]
Значит, в промежуток \((a - 2\sigma;\ a + 2\sigma)\) попадает около 95 % значений нормальной величины, а в промежуток \((a - 3\sigma;\ a + 3\sigma)\) — практически все. Для произвольной величины с математическим ожиданием \(a\) и дисперсией \(\sigma^2 > 0\) неравенство Чебышёва гарантирует попадание в эти промежутки лишь с вероятностью не меньше \(1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\) и не меньше \(1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\).
Ответ: вероятность попадания в промежуток а) \((a - \sigma;\ a + \sigma)\) равна \(2\Phi_0(1) \approx 0{,}6826\); б) \((a - 2\sigma;\ a + 2\sigma)\) — \(2\Phi_0(2) \approx 0{,}9546\); в) \((a - 3\sigma;\ a + 3\sigma)\) — \(2\Phi_0(3) \approx 0{,}9974\).
