Вопросы к пункту 2 «Показательное распределение» на странице 76, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича вероятность и статистика

Вопросы к пункту 2 «Показательное распределение».

Показательное распределение с параметром \(\lambda > 0\) обозначают \(\mathbf{Exp}(\lambda)\); его плотность

\[p(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x < 0, \\ \lambda e^{-\lambda x}, & \text{при } x \geqslant 0. \end{cases}\]

Плотность равна нулю при \(x < 0\), потому что величина с таким распределением — время ожидания — отрицательной не бывает; при \(x \geqslant 0\) плотность убывает, начиная со значения \(p(0) = \lambda\). Условие нормировки выполнено: \(\int_0^b \lambda e^{-\lambda x}\,dx = -e^{-\lambda x}\Big|_0^b = 1 - e^{-\lambda b}\), и при \(b \to +\infty\) это выражение стремится к 1. Например, при \(\lambda = 2\) плотность равна \(2e^{-2x}\) при \(x \geqslant 0\) и нулю при \(x < 0\).

Ответ: \(p(x) = \lambda e^{-\lambda x}\) при \(x \geqslant 0\) и \(p(x) = 0\) при \(x < 0\), где \(\lambda > 0\) — параметр распределения.

Показательное распределение имеет время ожидания случайного события, если выполнено одно предположение: когда событие ещё не произошло к моменту \(x\), вероятность того, что оно произойдёт за следующий малый промежуток времени \(\Delta x\), примерно пропорциональна \(\Delta x\) и не зависит от \(x\) — сколько уже прождали, значения не имеет.

Так ведут себя, например, время до появления очередного покупателя в магазине, время до поступления очередного звонка в кол-центр или вызова диспетчеру такси, время, которое покупатель проведёт в очереди к кассе, продолжительность телефонного разговора, время работы механизма до первой поломки, время до распада атома радиоактивного вещества.

Параметр \(\lambda\) — интенсивность потока событий, среднее число событий за единицу времени. Например, если в кол-центр поступает в среднем 3 звонка в минуту, то время ожидания очередного звонка (в минутах) имеет распределение \(\mathbf{Exp}(3)\).

Ответ: например, время до появления очередного покупателя в магазине, время до очередного звонка в кол-центр, время, проведённое покупателем в очереди к кассе, продолжительность телефонного разговора, время работы механизма до первой поломки.

Пусть величина \(T\) имеет распределение \(\mathbf{Exp}(\lambda)\). Её плотность равна нулю при \(x < 0\), поэтому интеграл берётся от 0:

\[E(T) = \int_0^{+\infty} x\lambda e^{-\lambda x}\,dx = \left(-xe^{-\lambda x} - \frac{e^{-\lambda x}}{\lambda}\right)\Big|_0^{+\infty} = \frac{1}{\lambda}.\]

Первообразная проверяется дифференцированием: \(\left(-xe^{-\lambda x} - \frac{e^{-\lambda x}}{\lambda}\right)' = -e^{-\lambda x} + \lambda xe^{-\lambda x} + e^{-\lambda x} = \lambda xe^{-\lambda x}\). При \(x \to +\infty\) выражение в скобках стремится к 0, а при \(x = 0\) оно равно \(-\frac{1}{\lambda}\), поэтому \(E(T) = 0 - \left(-\frac{1}{\lambda}\right) = \frac{1}{\lambda}\).

Среднее время ожидания обратно пропорционально интенсивности потока \(\lambda\): чем чаще происходят события, тем меньше в среднем приходится ждать очередного. Например, если в кол-центр поступает в среднем 3 звонка в минуту (\(\lambda = 3\)), то очередного звонка ждут в среднем \(\frac{1}{3}\) мин, т. е. 20 с.

Ответ: \(E(T) = \frac{1}{\lambda}\).

Дисперсия величины \(T\) с распределением \(\mathbf{Exp}(\lambda)\) находится так же, как математическое ожидание, — интегралом (через \(E(T^2)\) и формулу \(D(T) = E(T^2) - E^2(T)\)); получается \(D(T) = \frac{1}{\lambda^2}\). Значит, стандартное отклонение \(\sigma = \sqrt{D(T)} = \frac{1}{\lambda}\) равно математическому ожиданию. Например, при \(\lambda = 2\) получаем \(D(T) = \frac{1}{4}\) и \(\sigma = \frac{1}{2}\), а при \(\lambda = 3\) — \(D(T) = \frac{1}{9}\) и \(\sigma = \frac{1}{3}\).

Ответ: \(D(T) = \frac{1}{\lambda^2}\).