Страница 89 номер 47, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Маша и Дима договорились о встрече в городском парке между семью и восемью часами вечера. Тот, кто придёт первым, ждёт другого в течение 10 мин. Случайная величина \(T\) равна времени, которое Дима будет ждать Машу. Найдите её математическое ожидание.
Время отсчитываем в минутах от 19:00: Дима приходит в момент \(x\), Маша — в момент \(y\), \(0 \leqslant x \leqslant 60\), \(0 \leqslant y \leqslant 60\). Моменты прихода случайны и не зависят друг от друга, поэтому пара \((x; y)\) — случайная точка квадрата со стороной 60 и площадью 3600, а вероятность события равна площади соответствующей части квадрата, делённой на 3600. Дима, пришедший позже, чем через 10 мин после Маши, о её приходе не знает и ждёт впустую 10 мин; если Маша пришла раньше и ещё ждёт, то \(T = 0\).
Если \(y < x \leqslant y + 10\), Маша пришла раньше и ещё ждёт: \(T = 0\); если \(x > y + 10\), Маша уже ушла, и Дима ждёт впустую: \(T = 10\); если \(y > x + 10\), Маша не пришла за 10 мин ожидания, и Дима уходит: \(T = 10\); если \(x < y \leqslant x + 10\), Маша приходит, пока Дима ждёт: \(T = y - x\), где \(0 < T \leqslant 10\).
Области \(x > y + 10\) и \(y > x + 10\) — прямоугольные треугольники с катетами 50, площадь каждого \(\frac{50^2}{2} = 1250\), поэтому \(P(T = 10) = \frac{2 \cdot 1250}{3600} = \frac{25}{36}\).
Полоса \(y < x \leqslant y + 10\) — половина квадрата без одного такого треугольника, её площадь \(1800 - 1250 = 550\), поэтому \(P(T = 0) = \frac{550}{3600} = \frac{11}{72}\).
При \(0 < t \leqslant 10\) событие \(0 < T < t\) означает, что \(x < y < x + t\): это половина квадрата над прямой \(y = x\) без треугольника \(y \geqslant x + t\) с катетами \(60 - t\). Значит, функция распределения \(F(t)\) величины \(T\) при \(0 < t \leqslant 10\) равна \[\begin{aligned} &F(t) = P(T = 0) + P(0 < T < t) = \frac{11}{72} + \frac{1800 - \frac{(60 - t)^2}{2}}{3600} = {} \\ &= \frac{11}{72} + \frac12 - \frac{(60 - t)^2}{7200}. \end{aligned}\] Её производная \(\frac{2(60 - t)}{7200} = \frac{60 - t}{3600}\) — плотность непрерывной части величины \(T\) на интервале \((0; 10)\).
Математическое ожидание \(T\) складывается из суммы произведений значений на их вероятности по значениям 0 и 10 и интеграла по непрерывной части: на непрерывной части сумма переходит в интеграл — так же, как при выводе формулы математического ожидания непрерывной величины. Поэтому \[\begin{aligned} &E(T) = 0 \cdot \frac{11}{72} + 10 \cdot \frac{25}{36} + \int_0^{10} t \cdot \frac{60 - t}{3600}\,dt = {} \\ &= \frac{125}{18} + \frac{1}{3600}\left(30t^2 - \frac{t^3}{3}\right)\Big|_0^{10} = \frac{125}{18} + \frac{1}{3600} \cdot \frac{8000}{3} = {} \\ &= \frac{125}{18} + \frac{20}{27} = \frac{415}{54} \approx 7{,}685. \end{aligned}\]
Ответ: \(E(T) = \frac{415}{54} \approx 7{,}685\) мин.
Маша и Дима договорились о встрече в городском парке между семью и восемью часами вечера. Тот, кто придёт первым, ждёт другого в течение 10 мин. Случайная величина \(T\) равна времени, которое Дима будет ждать Машу. Найдите её математическое ожидание.
Время отсчитываем в минутах от 19:00: Дима приходит в момент \(x\), Маша — в момент \(y\), \(0 \leqslant x \leqslant 60\), \(0 \leqslant y \leqslant 60\). Моменты прихода случайны и не зависят друг от друга, поэтому пара \((x; y)\) — случайная точка квадрата со стороной 60 и площадью 3600, а вероятность события равна площади соответствующей части квадрата, делённой на 3600. Пришедший первым ждёт другого 10 мин и уходит. Дима, пришедший позже, чем через 10 мин после Маши, о её приходе не знает и ждёт впустую 10 мин; если Маша пришла раньше и ещё ждёт, то \(T = 0\).
Если \(y < x \leqslant y + 10\), Маша пришла раньше и ещё ждёт: \(T = 0\); если \(x > y + 10\), Маша уже ушла, и Дима ждёт впустую: \(T = 10\); если \(y > x + 10\), Маша не пришла за 10 мин ожидания, и Дима уходит: \(T = 10\); если \(x < y \leqslant x + 10\), Маша приходит, пока Дима ждёт: \(T = y - x\), где \(0 < T \leqslant 10\).
Области \(x > y + 10\) и \(y > x + 10\) — прямоугольные треугольники с катетами 50, площадь каждого \(\frac{50^2}{2} = 1250\), поэтому \(P(T = 10) = \frac{2 \cdot 1250}{3600} = \frac{25}{36}\). Полоса \(y < x \leqslant y + 10\) — половина квадрата без одного такого треугольника, её площадь \(1800 - 1250 = 550\), поэтому \(P(T = 0) = \frac{550}{3600} = \frac{11}{72}\).
Остальные значения \(T\) заполняют интервал \((0; 10)\). При \(0 < t \leqslant 10\) событие \(0 < T < t\) означает, что \(x < y < x + t\): это половина квадрата над прямой \(y = x\) без треугольника \(y \geqslant x + t\) с катетами \(60 - t\). Значит, функция распределения \(F(t)\) величины \(T\) при \(0 < t \leqslant 10\) равна \[\begin{aligned} &F(t) = P(T = 0) + P(0 < T < t) = \frac{11}{72} + \frac{1800 - \frac{(60 - t)^2}{2}}{3600} = {} \\ &= \frac{11}{72} + \frac12 - \frac{(60 - t)^2}{7200}. \end{aligned}\] Её производная \(\frac{2(60 - t)}{7200} = \frac{60 - t}{3600}\) — плотность непрерывной части величины \(T\) на интервале \((0; 10)\). Вероятность непрерывной части равна \(\frac12 - \frac{50^2}{7200} = \frac{11}{72}\), и вместе \(\frac{11}{72} + \frac{11}{72} + \frac{25}{36} = 1\).
Значения 0 и 10 величина \(T\) принимает с ненулевыми вероятностями, а на интервале \((0; 10)\) распределена с плотностью \(\frac{60 - t}{3600}\). Её математическое ожидание складывается из суммы произведений значений на их вероятности по значениям 0 и 10 и интеграла по непрерывной части: на непрерывной части сумма переходит в интеграл — так же, как при выводе формулы математического ожидания непрерывной величины. Поэтому \[\begin{aligned} &E(T) = 0 \cdot \frac{11}{72} + 10 \cdot \frac{25}{36} + \int_0^{10} t \cdot \frac{60 - t}{3600}\,dt = {} \\ &= \frac{125}{18} + \frac{1}{3600}\left(30t^2 - \frac{t^3}{3}\right)\Big|_0^{10} = \frac{125}{18} + \frac{1}{3600} \cdot \frac{8000}{3} = {} \\ &= \frac{125}{18} + \frac{20}{27} = \frac{415}{54} \approx 7{,}685. \end{aligned}\]
Ответ: \(E(T) = \frac{415}{54} \approx 7{,}685\) мин.
