Страница 88 номер 42, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
На единичном отрезке оси абсцисс случайным образом выбирают точку \(M\); \(X\) — расстояние от \(M\) до точки \((0; 1)\). Пусть точка \(M\) имеет координаты \((m; 0)\), где \(0 \leqslant m \leqslant 1\); при \(0 \leqslant t \leqslant 1\) по геометрическому определению вероятности \(P(m < t) = t\) — длина отрезка \([0; t]\). Расстояние \(X\) — гипотенуза прямоугольного треугольника с прямым углом в начале координат и катетами \(m\) и 1, поэтому по теореме Пифагора \(X = \sqrt{m^2 + 1}\). Когда \(m\) пробегает отрезок \([0; 1]\), расстояние \(X\) пробегает отрезок \([1; \sqrt{2}]\).
а) Пусть \(1 < x \leqslant \sqrt{2}\). Обе части неравенства \(\sqrt{m^2 + 1} < x\) положительны, поэтому оно равносильно неравенству \(m^2 + 1 < x^2\), то есть \(m^2 < x^2 - 1\), а так как \(m \geqslant 0\), — неравенству \(m < \sqrt{x^2 - 1}\), где \(0 < \sqrt{x^2 - 1} \leqslant 1\). Значит, \[F(x) = P(X < x) = P\left(m < \sqrt{x^2 - 1}\right) = \sqrt{x^2 - 1}.\] При \(x \leqslant 1\) событие \(X < x\) невозможно (\(X \geqslant 1\)) и \(F(x) = 0\), при \(x > \sqrt{2}\) оно достоверно и \(F(x) = 1\). Куски склеиваются непрерывно: \(\sqrt{1^2 - 1} = 0\), \(\sqrt{(\sqrt{2})^2 - 1} = 1\). Функция распределения: \[F(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \leqslant 1, \\ \sqrt{x^2 - 1}, & \text{при } 1 < x \leqslant \sqrt{2}, \\ 1, & \text{при } x > \sqrt{2}. \end{cases}\]
б) На интервале \((1; \sqrt{2})\) плотность находим по правилу дифференцирования сложной функции: \[\begin{aligned} &p(x) = F'(x) = \left(\sqrt{x^2 - 1}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot (x^2 - 1)' = {} \\ &= \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}. \end{aligned}\] При \(x < 1\) и при \(x > \sqrt{2}\) функция \(F(x)\) постоянна, и \(p(x) = 0\). В точках \(x = 1\) и \(x = \sqrt{2}\) производной нет; значение плотности в отдельной точке на вероятности и интегралы не влияет. Значит, \[p(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \leqslant 1, \\ \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}, & \text{при } 1 < x \leqslant \sqrt{2}, \\ 0, & \text{при } x > \sqrt{2}. \end{cases}\]
Ответ: а) \(F(x) = 0\) при \(x \leqslant 1\), \(F(x) = \sqrt{x^2 - 1}\) при \(1 < x \leqslant \sqrt{2}\), \(F(x) = 1\) при \(x > \sqrt{2}\); б) \(p(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\) при \(1 < x \leqslant \sqrt{2}\), \(p(x) = 0\) при остальных \(x\).
На единичном отрезке оси абсцисс случайным образом выбирают точку \(M\); \(X\) — расстояние от \(M\) до точки \((0; 1)\). Пусть точка \(M\) имеет координаты \((m; 0)\), где \(0 \leqslant m \leqslant 1\). Точка выбирается случайно, поэтому по геометрическому определению вероятности при \(0 \leqslant t \leqslant 1\) вероятность события \(m < t\) равна длине отрезка \([0; t]\): \(P(m < t) = t\). На рисунке расстояние \(X\) — гипотенуза прямоугольного треугольника с прямым углом в начале координат и катетами \(m\) и 1, поэтому по теореме Пифагора \(X = \sqrt{m^2 + 1}\). Когда \(m\) пробегает отрезок \([0; 1]\), расстояние \(X\) пробегает отрезок \([1; \sqrt{2}]\).
а) Пусть \(1 < x \leqslant \sqrt{2}\). Обе части неравенства \(\sqrt{m^2 + 1} < x\) положительны, поэтому оно равносильно неравенству \(m^2 + 1 < x^2\), т. е. \(m^2 < x^2 - 1\), а так как \(m \geqslant 0\), — неравенству \(m < \sqrt{x^2 - 1}\), где \(0 < \sqrt{x^2 - 1} \leqslant 1\). Значит, \[F(x) = P(X < x) = P\left(m < \sqrt{x^2 - 1}\right) = \sqrt{x^2 - 1}.\] При \(x \leqslant 1\) событие \(X < x\) невозможно (\(X \geqslant 1\)) и \(F(x) = 0\), при \(x > \sqrt{2}\) оно достоверно и \(F(x) = 1\). Куски склеиваются непрерывно: \(\sqrt{1^2 - 1} = 0\), \(\sqrt{(\sqrt{2})^2 - 1} = 1\). Функция распределения: \[F(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \leqslant 1, \\ \sqrt{x^2 - 1}, & \text{при } 1 < x \leqslant \sqrt{2}, \\ 1, & \text{при } x > \sqrt{2}. \end{cases}\]
б) На интервале \((1; \sqrt{2})\) плотность находим по правилу дифференцирования сложной функции: \[\begin{aligned} &p(x) = F'(x) = \left(\sqrt{x^2 - 1}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot (x^2 - 1)' = {} \\ &= \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}. \end{aligned}\] При \(x < 1\) и при \(x > \sqrt{2}\) функция \(F(x)\) постоянна, и \(p(x) = 0\). В точках \(x = 1\) и \(x = \sqrt{2}\) производной нет; значение плотности в отдельной точке на вероятности и интегралы не влияет. Значит, \[p(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \leqslant 1, \\ \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}, & \text{при } 1 < x \leqslant \sqrt{2}, \\ 0, & \text{при } x > \sqrt{2}. \end{cases}\] Проверка: площадь под графиком плотности равна \(\int_1^{\sqrt{2}} p(x)\,dx = F(\sqrt{2}) - F(1) = 1 - 0 = 1\).
Ответ: а) \(F(x) = 0\) при \(x \leqslant 1\), \(F(x) = \sqrt{x^2 - 1}\) при \(1 < x \leqslant \sqrt{2}\), \(F(x) = 1\) при \(x > \sqrt{2}\); б) \(p(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\) при \(1 < x \leqslant \sqrt{2}\), \(p(x) = 0\) при остальных \(x\).
