Страница 88 номер 46, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Карандаш длиной 18 см случайным образом ломают на две части. Чему равна средняя длина большей части? А если карандаш ломают на три части?
Будем считать, что каждая точка излома с равной вероятностью может оказаться в любом месте карандаша, а при двух изломах точки излома выбираются независимо одна от другой. Длины — в сантиметрах.
Карандаш ломают на две части. Пусть точка излома находится на расстоянии \(u\) от левого конца, \(0 \leqslant u \leqslant 18\). Части имеют длины \(u\) и \(18 - u\); \(L\) — длина большей из них, \(9 \leqslant L \leqslant 18\), \(F_L(x)\) — функция распределения величины \(L\). При \(9 < x \leqslant 18\) событие \(L < x\) означает, что обе части короче \(x\): \(u < x\) и \(18 - u < x\), то есть \(18 - x < u < x\), — это участок длиной \(2x - 18\). Значит, \(F_L(x) = \frac{2x - 18}{18} = \frac{x - 9}{9}\) при \(9 < x \leqslant 18\), \(F_L(x) = 0\) при \(x \leqslant 9\) и \(F_L(x) = 1\) при \(x > 18\). Это функция распределения равномерного распределения на отрезке \([9; 18]\), поэтому средняя длина большей части \(E(L) = \frac{9 + 18}{2} = 13{,}5\).
Карандаш ломают на три части. Пусть точки излома находятся на расстояниях \(u\) и \(v\) от левого конца. Они выбираются независимо, поэтому пара \((u; v)\) — случайная точка квадрата \(0 \leqslant u \leqslant 18\), \(0 \leqslant v \leqslant 18\) площадью \(18^2 = 324\). Пусть \(M\) — длина наибольшей из трёх частей, \(F_M(x)\) — её функция распределения, \(p_M(x)\) — плотность. Сумма длин трёх частей равна 18, поэтому \(M \geqslant 6\); значит, \(F_M(x) = 0\) при \(x \leqslant 6\), а \(F_M(x) = 1\) при \(x > 18\).
При \(9 < x \leqslant 18\) двух частей длиной не меньше \(x\) быть не может: их сумма была бы больше 18. Поэтому событие \(M \geqslant x\) распадается на три несовместных события: не короче \(x\) левая, средняя или правая часть. Левая часть не короче \(x\), если \(u \geqslant x\) и \(v \geqslant x\), — это квадрат со стороной \(18 - x\); правая — если \(u \leqslant 18 - x\) и \(v \leqslant 18 - x\), — тоже квадрат со стороной \(18 - x\); средняя — если \(u - v \geqslant x\) или \(v - u \geqslant x\), — это два прямоугольных равнобедренных треугольника с катетами \(18 - x\), вместе площадью \((18 - x)^2\). Значит, \[\begin{aligned} P(M \geqslant x) &= \frac{3(18 - x)^2}{324} = \frac{(18 - x)^2}{108}; \\ F_M(x) &= 1 - \frac{(18 - x)^2}{108}. \end{aligned}\]
При \(6 < x \leqslant 9\) событие \(M < x\) означает, что все три части короче \(x\). Если \(u < v\), то части равны \(u\), \(v - u\) и \(18 - v\), а условия \(u < x\), \(v - u < x\), \(18 - v < x\) задают треугольник, ограниченный прямыми \(u = x\), \(v = 18 - x\) и \(v = u + x\), с вершинами \((18 - 2x; 18 - x)\), \((x; 18 - x)\) и \((x; 2x)\). Он прямоугольный, оба его катета равны \(x - (18 - 2x) = 2x - (18 - x) = 3x - 18\), а площадь — \(\frac{(3x - 18)^2}{2}\). Случай \(v < u\) даёт такой же треугольник, поэтому \[F_M(x) = P(M < x) = \frac{(3x - 18)^2}{324} = \frac{9(x - 6)^2}{324} = \frac{(x - 6)^2}{36}.\]
Куски склеиваются непрерывно: \(\frac{(6 - 6)^2}{36} = 0\);
\(\frac{(9 - 6)^2}{36} = \frac14\) и \(1 - \frac{(18 - 9)^2}{108} = \frac14\);
\(1 - \frac{(18 - 18)^2}{108} = 1\).
Плотность — производная функции распределения:
\(\left(\frac{x^2 - 12x + 36}{36}\right)' = \frac{2x - 12}{36} = \frac{x - 6}{18}\);
\(\left(1 - \frac{324 - 36x + x^2}{108}\right)' = \frac{36 - 2x}{108} = \frac{18 - x}{54}\), поэтому \[p_M(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \leqslant 6, \\ \frac{x - 6}{18}, & \text{при } 6 < x \leqslant 9, \\ \frac{18 - x}{54}, & \text{при } 9 < x \leqslant 18, \\ 0, & \text{при } x > 18. \end{cases}\] Средняя длина наибольшей части: \[\begin{aligned} &E(M) = \int_6^9 x \cdot \frac{x - 6}{18}\,dx + \int_9^{18} x \cdot \frac{18 - x}{54}\,dx = {} \\ &= \frac{1}{18}\left(\frac{x^3}{3} - 3x^2\right)\Big|_6^9 + \frac{1}{54}\left(9x^2 - \frac{x^3}{3}\right)\Big|_9^{18} = {} \\ &= \frac{1}{18} \cdot (0 - (-36)) + \frac{1}{54} \cdot (972 - 486) = 2 + 9 = 11. \end{aligned}\]
Ответ: средняя длина большей из двух частей — \(13{,}5\) см; если карандаш ломают на три части, средняя длина наибольшей из них — 11 см.
Карандаш длиной 18 см случайным образом ломают на две части. Чему равна средняя длина большей части? А если карандаш ломают на три части?
Будем считать, что каждая точка излома с равной вероятностью может оказаться в любом месте карандаша, а при двух изломах точки излома выбираются независимо одна от другой. Длины измеряем в сантиметрах.
Карандаш ломают на две части. Пусть точка излома находится на расстоянии \(u\) от левого конца, \(0 \leqslant u \leqslant 18\): по геометрическому определению вероятности \(u\) попадает на какой-либо участок отрезка \([0; 18]\) с вероятностью, равной длине участка, делённой на 18. Части имеют длины \(u\) и \(18 - u\); пусть \(L\) — длина большей из них, \(9 \leqslant L \leqslant 18\), а \(F_L(x)\) — функция распределения величины \(L\). При \(9 < x \leqslant 18\) событие \(L < x\) означает, что обе части короче \(x\): \(u < x\) и \(18 - u < x\), т. е. \(18 - x < u < x\), — это участок длиной \(2x - 18\). Значит, \(F_L(x) = \frac{2x - 18}{18} = \frac{x - 9}{9}\) при \(9 < x \leqslant 18\), \(F_L(x) = 0\) при \(x \leqslant 9\) и \(F_L(x) = 1\) при \(x > 18\). Это функция распределения равномерного распределения на отрезке \([9; 18]\), поэтому средняя длина большей части \(E(L) = \frac{9 + 18}{2} = 13{,}5\).
Карандаш ломают на три части. Пусть точки излома находятся на расстояниях \(u\) и \(v\) от левого конца. Они выбираются независимо, поэтому пара \((u; v)\) — случайная точка квадрата \(0 \leqslant u \leqslant 18\), \(0 \leqslant v \leqslant 18\) площадью \(18^2 = 324\), и вероятность события равна площади соответствующей части квадрата, делённой на 324. Пусть \(M\) — длина наибольшей из трёх частей, \(F_M(x)\) — её функция распределения, \(p_M(x)\) — плотность. Сумма длин трёх частей равна 18, поэтому \(M \geqslant 6\); значит, \(F_M(x) = 0\) при \(x \leqslant 6\), а \(F_M(x) = 1\) при \(x > 18\).
При \(9 < x \leqslant 18\) двух частей длиной не меньше \(x\) быть не может: их сумма была бы больше 18. Поэтому событие \(M \geqslant x\) распадается на три несовместных события: не короче \(x\) левая, средняя или правая часть. Левая часть не короче \(x\), если \(u \geqslant x\) и \(v \geqslant x\), — это квадрат со стороной \(18 - x\); правая — если \(u \leqslant 18 - x\) и \(v \leqslant 18 - x\), — тоже квадрат со стороной \(18 - x\); средняя — если \(u - v \geqslant x\) или \(v - u \geqslant x\), — это два прямоугольных равнобедренных треугольника с катетами \(18 - x\), вместе площадью \((18 - x)^2\). Значит, \[\begin{aligned} P(M \geqslant x) &= \frac{3(18 - x)^2}{324} = \frac{(18 - x)^2}{108}; \\ F_M(x) &= 1 - \frac{(18 - x)^2}{108}. \end{aligned}\]
При \(6 < x \leqslant 9\) событие \(M < x\) означает, что все три части короче \(x\). Если \(u < v\), то части равны \(u\), \(v - u\) и \(18 - v\), а условия \(u < x\), \(v - u < x\), \(18 - v < x\) задают треугольник, ограниченный прямыми \(u = x\), \(v = 18 - x\) и \(v = u + x\), с вершинами \((18 - 2x; 18 - x)\), \((x; 18 - x)\) и \((x; 2x)\). Он прямоугольный, оба его катета равны \(x - (18 - 2x) = 2x - (18 - x) = 3x - 18\), а площадь — \(\frac{(3x - 18)^2}{2}\). Случай \(v < u\) даёт такой же треугольник, поэтому \[F_M(x) = P(M < x) = \frac{(3x - 18)^2}{324} = \frac{9(x - 6)^2}{324} = \frac{(x - 6)^2}{36}.\]
Куски склеиваются непрерывно: \(\frac{(6 - 6)^2}{36} = 0\);
\(\frac{(9 - 6)^2}{36} = \frac14\) и \(1 - \frac{(18 - 9)^2}{108} = \frac14\);
\(1 - \frac{(18 - 18)^2}{108} = 1\). Плотность — производная функции распределения: \(\left(\frac{x^2 - 12x + 36}{36}\right)' = \frac{2x - 12}{36} = \frac{x - 6}{18}\) и \(\left(1 - \frac{324 - 36x + x^2}{108}\right)' = \frac{36 - 2x}{108} = \frac{18 - x}{54}\), поэтому
\[p_M(x) = \begin{cases} 0, & \text{при } x \leqslant 6, \\ \frac{x - 6}{18}, & \text{при } 6 < x \leqslant 9, \\ \frac{18 - x}{54}, & \text{при } 9 < x \leqslant 18, \\ 0, & \text{при } x > 18. \end{cases}\]
Средняя длина наибольшей части:
\[\begin{aligned} &E(M) = \int_6^9 x \cdot \frac{x - 6}{18}\,dx + \int_9^{18} x \cdot \frac{18 - x}{54}\,dx = {} \\ &= \frac{1}{18}\left(\frac{x^3}{3} - 3x^2\right)\Big|_6^9 + \frac{1}{54}\left(9x^2 - \frac{x^3}{3}\right)\Big|_9^{18} = {} \\ &= \frac{1}{18} \cdot (0 - (-36)) + \frac{1}{54} \cdot (972 - 486) = 2 + 9 = 11. \end{aligned}\]
Ответ: средняя длина большей из двух частей — \(13{,}5\) см; если карандаш ломают на три части, средняя длина наибольшей из них — 11 см.
