Страница 50 номер 23, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Имеется 800 наблюдений случайной величины \(X\), дисперсия которой равна 4. Среднее арифметическое полученных значений равно \(\overline{x} = 9{,}7\). На уровне значимости 0,1 проверьте гипотезу о том, что \(E(X) = 10\).
\(\overline{X}\) — среднее арифметическое \(N = 800\) независимых наблюдений случайной величины \(X\), в опыте \(\overline{x} = 9{,}7\); уровень значимости \(\alpha = 0{,}1\).
\(\sigma = \sqrt{4} = 2\) — стандартное отклонение, так как \(D(X) = 4\).
\(H_0\): \(E(X) = 10\); \(H_1\): \(E(X) \ne 10\) — направление отклонения в условии не указано, поэтому альтернатива двусторонняя; критическая область — \(|\overline{X} - 10| \geqslant \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то \(E(\overline{X}) = 10\), \(D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{N}\), и по неравенству Чебышёва вероятность попасть в критическую область \(P(|\overline{X} - 10| \geqslant \delta) \leqslant \frac{\sigma^2}{N\delta^2}\); из равенства \(\frac{\sigma^2}{N\delta^2} = \alpha\) получим \(\delta = \frac{\sigma}{\sqrt{N} \cdot \sqrt{\alpha}}\):
\[\delta = \frac{2}{\sqrt{800} \cdot \sqrt{0{,}1}} = \frac{2}{\sqrt{80}} \approx 0{,}224.\]
Критическая область: \(\overline{X} \leqslant 10 - \delta \approx 9{,}776\) или \(\overline{X} \geqslant 10 + \delta \approx 10{,}224\).
Среднее \(\overline{x} = 9{,}7\) меньше \(9{,}776\), т. е. попадает в критическую область: отклонение \(10 - 9{,}7 = 0{,}3\) больше \(\delta\). Значит, гипотезу \(H_0\) отвергаем: на уровне значимости \(0{,}1\) можно считать, что \(E(X) \ne 10\).
Ответ: гипотезу о том, что \(E(X) = 10\), на уровне значимости \(0{,}1\) отвергаем: среднее \(9{,}7\) меньше границы критической области \(10 - \delta \approx 9{,}776\).
Имеется 800 наблюдений случайной величины \(X\), дисперсия которой равна 4. Среднее арифметическое полученных значений равно \(\overline{x} = 9{,}7\). На уровне значимости 0,1 проверьте гипотезу о том, что \(E(X) = 10\).
Пусть \(\overline{X}\) — среднее арифметическое \(N = 800\) независимых наблюдений случайной величины \(X\); в опыте оно приняло значение \(\overline{x} = 9{,}7\). По условию \(D(X) = 4\), поэтому стандартное отклонение \(\sigma = \sqrt{4} = 2\). Уровень значимости \(\alpha = 0{,}1\).
Проверяем основную гипотезу \(H_0\): \(E(X) = 10\) против альтернативы \(H_1\): \(E(X) \ne 10\) — направление отклонения в условии не указано, поэтому альтернатива двусторонняя, а критическая область — \(|\overline{X} - 10| \geqslant \delta\).
Если гипотеза \(H_0\) верна, то \(E(\overline{X}) = 10\), \(D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{N}\), и по неравенству Чебышёва вероятность попасть в критическую область \(P(|\overline{X} - 10| \geqslant \delta) \leqslant \frac{\sigma^2}{N\delta^2}\). Приравняв эту границу к уровню значимости, \(\frac{\sigma^2}{N\delta^2} = \alpha\), получим \(\delta = \frac{\sigma}{\sqrt{N} \cdot \sqrt{\alpha}}\):
\[\delta = \frac{2}{\sqrt{800} \cdot \sqrt{0{,}1}} = \frac{2}{\sqrt{80}} \approx 0{,}224.\]
Критическая область: \(\overline{X} \leqslant 10 - \delta \approx 9{,}776\) или \(\overline{X} \geqslant 10 + \delta \approx 10{,}224\). Среднее \(\overline{x} = 9{,}7\) меньше \(9{,}776\), т. е. попадает в критическую область: его отклонение от 10 равно \(10 - 9{,}7 = 0{,}3\), а это больше \(\delta\). Значит, гипотезу \(H_0\) отвергаем: на уровне значимости \(0{,}1\) можно считать, что \(E(X) \ne 10\).
Ответ: гипотезу о том, что \(E(X) = 10\), на уровне значимости \(0{,}1\) отвергаем: среднее \(9{,}7\) меньше границы критической области \(10 - \delta \approx 9{,}776\).
