Вопросы к пункту 5 «Оценка вероятности по выборке» на странице 33, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича вероятность и статистика
Вопросы к пункту 5 «Оценка вероятности по выборке».
\(p\) — неизвестная вероятность события \(A\), \(X\) — индикатор события \(A\): \(X = 1\), если событие \(A\) произошло, и \(X = 0\), если не произошло. Серия из \(N\) одинаковых независимых опытов даёт выборку \(X_1, X_2, \ldots, X_N\) — индикаторы события \(A\) в каждом опыте. Сумма \(X_1 + X_2 + \ldots + X_N\) равна числу наступлений события \(A\), поэтому выборочное среднее \(\overline{X}\) — частота события \(A\) в этой серии.
\(E(X) = 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p\) — математическое ожидание индикатора.
\(D(X) = E(X^2) - E^2(X) = p - p^2 = p(1 - p)\) — его дисперсия.
Значит, для выборочного среднего
\[\begin{aligned} E(\overline{X}) &= p; \\ D(\overline{X}) &= \frac{p(1 - p)}{N}. \end{aligned}\]
Частота события — несмещённая оценка его вероятности, а её дисперсия стремится к 0 при увеличении \(N\), т. е. оценка ещё и состоятельная. Например, если из 400 деталей, проверенных наугад, 12 оказались бракованными, то вероятность брака оценивается частотой \(\frac{12}{400} = 0{,}03\).
Ответ: вероятность \(p\) события оценивают его частотой в серии из \(N\) независимых опытов, т. е. выборочным средним \(\overline{X}\) индикаторов события: \(E(\overline{X}) = p\) и \(D(\overline{X}) = \frac{p(1 - p)}{N}\), поэтому частота — несмещённая и состоятельная оценка вероятности.
Для частоты \(\overline{X}\) события в \(N\) независимых опытах \(E(\overline{X}) = p\) и \(D(\overline{X}) = \frac{p(1 - p)}{N}\), где \(p\) — вероятность события, поэтому неравенство Чебышёва даёт при любом \(\delta > 0\)
\[P(|\overline{X} - p| < \delta) \geqslant 1 - \frac{p(1 - p)}{N\delta^2}.\]
Вероятность \(p\) неизвестна, но при любом \(p\) от 0 до 1 произведение \(p(1 - p)\) не больше \(0{,}25\): квадратичная функция \(y = x(1 - x)\) принимает наибольшее значение в вершине параболы, при \(x = 0{,}5\), и оно равно \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\). Поэтому правая часть не меньше \(1 - \frac{0{,}25}{N\delta^2}\), и уровень доверия \(0{,}95\) обеспечен, если (число \(N\delta^2\) положительно)
\[\begin{aligned} 1 - \frac{0{,}25}{N\delta^2} &\geqslant 0{,}95; \\ \frac{0{,}25}{N\delta^2} &\leqslant 0{,}05; \qquad | \cdot N\delta^2 \\ 0{,}25 &\leqslant 0{,}05N\delta^2; \qquad | : 0{,}05N \\ \frac{0{,}25}{0{,}05N} &\leqslant \delta^2. \end{aligned}\]
Так как \(\delta > 0\) и \(0{,}25 = 0{,}5^2\), отсюда \(\delta \geqslant \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}05N}}\); при \(\delta = \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}05N}}\) получаем \(P(|\overline{X} - p| < \delta) \geqslant 0{,}95\). Если \(\delta\) приходится округлять, его округляют в большую сторону, а концы интервала — наружу: более широкий интервал тем более обеспечивает уровень доверия. Для другого уровня доверия вместо \(0{,}05\) берут разность 1 и этого уровня: например, для уровня \(0{,}9\) получаем \(\delta = \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}1N}}\).
Например, из 2000 случайно выбранных жителей 600 ответили в опросе «да».
\(\overline{X} = \frac{600}{2000} = 0{,}3\) — частота ответа «да».
\(\delta = \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}05 \cdot 2000}} = \frac{0{,}5}{10} = 0{,}05\).
Значит, \(P(|\overline{X} - p| < 0{,}05) \geqslant 0{,}95\): вероятность \(p\) того, что случайно выбранный житель ответит «да», попадает в интервал \((0{,}3 - 0{,}05;\ 0{,}3 + 0{,}05)\), т. е. \((0{,}25;\ 0{,}35)\), с вероятностью не меньше \(0{,}95\).
Ответ: по частоте \(\overline{X}\) события в \(N\) независимых опытах: границы интервала — \(\overline{X} - \delta\) и \(\overline{X} + \delta\), где \(\delta = \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}05N}}\) при уровне доверия \(0{,}95\) (из неравенства Чебышёва, в котором \(p(1 - p)\) заменено его наибольшим значением \(0{,}25\)); вероятность \(p\) попадает в интервал \((\overline{X} - \delta;\ \overline{X} + \delta)\) с вероятностью не меньше \(0{,}95\).
При уровне доверия \(0{,}95\) полуширина интервала \(\delta = \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}05N}}\) обратно пропорциональна \(\sqrt{N}\).
\(\delta = \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}05 \cdot 20}} = 0{,}5\) при \(N = 20\) — интервал длиной 1 почти ничего не говорит о вероятности.
\(\delta = \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}05 \cdot 500}} = \frac{0{,}5}{5} = 0{,}1\) при \(N = 500\).
\(\delta = \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}05 \cdot 2000}} = \frac{0{,}5}{10} = 0{,}05\) при \(N = 2000\).
\(\delta = \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}05 \cdot 50\,000}} = \frac{0{,}5}{50} = 0{,}01\) при \(N = 50\,000\).
Ответ: при увеличении объёма выборки \(N\) полуширина интервала \(\delta = \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}05N}}\) уменьшается обратно пропорционально \(\sqrt{N}\): границы интервала сближаются и приближаются к частоте события, интервал сужается (при увеличении \(N\) в 4 раза — вдвое), и оценка вероятности становится точнее.
Вопросы к пункту 5 «Оценка вероятности по выборке».
Пусть \(p\) — неизвестная вероятность события \(A\). Рассмотрим индикатор \(X\) события \(A\): \(X = 1\), если событие \(A\) произошло, и \(X = 0\), если не произошло. Серия из \(N\) одинаковых независимых опытов даёт выборку \(X_1, X_2, \ldots, X_N\) — индикаторы события \(A\) в каждом опыте. Сумма \(X_1 + X_2 + \ldots + X_N\) равна числу наступлений события \(A\), поэтому выборочное среднее \(\overline{X}\) — частота события \(A\) в этой серии. Так как \(E(X) = 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p\) и \(D(X) = E(X^2) - E^2(X) = p - p^2 = p(1 - p)\), то
\[\begin{aligned} E(\overline{X}) &= p; \\ D(\overline{X}) &= \frac{p(1 - p)}{N}. \end{aligned}\]
Значит, частота события — несмещённая оценка его вероятности, а её дисперсия стремится к 0 при увеличении \(N\), т. е. оценка ещё и состоятельная. Поэтому вероятность события оценивают его частотой. Например, если из 400 деталей, проверенных наугад, 12 оказались бракованными, то вероятность брака оценивается частотой \(\frac{12}{400} = 0{,}03\). Насколько точна такая оценка, показывает доверительный интервал.
Ответ: вероятность \(p\) события оценивают его частотой в серии из \(N\) независимых опытов, т. е. выборочным средним \(\overline{X}\) индикаторов события: \(E(\overline{X}) = p\) и \(D(\overline{X}) = \frac{p(1 - p)}{N}\), поэтому частота — несмещённая и состоятельная оценка вероятности.
Для частоты \(\overline{X}\) события в \(N\) независимых опытах \(E(\overline{X}) = p\) и \(D(\overline{X}) = \frac{p(1 - p)}{N}\), поэтому неравенство Чебышёва даёт при любом \(\delta > 0\)
\[P(|\overline{X} - p| < \delta) \geqslant 1 - \frac{p(1 - p)}{N\delta^2}.\]
Вероятность \(p\) неизвестна, но при любом \(p\) от 0 до 1 произведение \(p(1 - p)\) не больше \(0{,}25\): квадратичная функция \(y = x(1 - x)\) принимает наибольшее значение в вершине параболы, при \(x = 0{,}5\), и оно равно \(0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\). Поэтому правая часть не меньше \(1 - \frac{0{,}25}{N\delta^2}\), и уровень доверия \(0{,}95\) обеспечен, если (число \(N\delta^2\) положительно)
\[\begin{aligned} 1 - \frac{0{,}25}{N\delta^2} &\geqslant 0{,}95; \\ \frac{0{,}25}{N\delta^2} &\leqslant 0{,}05; \qquad | \cdot N\delta^2 \\ 0{,}25 &\leqslant 0{,}05N\delta^2; \qquad | : 0{,}05N \\ \frac{0{,}25}{0{,}05N} &\leqslant \delta^2. \end{aligned}\]
Так как \(\delta > 0\) и \(0{,}25 = 0{,}5^2\), отсюда \(\delta \geqslant \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}05N}}\). Границы доверительного интервала — \(\overline{X} - \delta\) и \(\overline{X} + \delta\), где \(\delta = \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}05N}}\); если \(\delta\) приходится округлять, его округляют в большую сторону, а концы интервала — наружу: более широкий интервал тем более обеспечивает уровень доверия. Тогда \(P(|\overline{X} - p| < \delta) \geqslant 0{,}95\): неизвестная вероятность \(p\) попадает в интервал \((\overline{X} - \delta;\ \overline{X} + \delta)\) с вероятностью не меньше \(0{,}95\). Для другого уровня доверия вместо \(0{,}05\) берут разность 1 и этого уровня: например, для уровня \(0{,}9\) получаем \(\delta = \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}1N}}\).
Например, если из 2000 случайно выбранных жителей 600 ответили в опросе «да», то частота ответа «да» \(\overline{X} = \frac{600}{2000} = 0{,}3\), а \(\delta = \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}05 \cdot 2000}} = \frac{0{,}5}{10} = 0{,}05\). Значит, \(P(|\overline{X} - p| < 0{,}05) \geqslant 0{,}95\), и вероятность \(p\) того, что случайно выбранный житель ответит «да», попадает в интервал \((0{,}3 - 0{,}05;\ 0{,}3 + 0{,}05)\), т. е. \((0{,}25;\ 0{,}35)\), с вероятностью не меньше \(0{,}95\).
Ответ: по частоте \(\overline{X}\) события в \(N\) независимых опытах: границы интервала — \(\overline{X} - \delta\) и \(\overline{X} + \delta\), где \(\delta = \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}05N}}\) при уровне доверия \(0{,}95\) (из неравенства Чебышёва, в котором \(p(1 - p)\) заменено его наибольшим значением \(0{,}25\)); вероятность \(p\) попадает в интервал \((\overline{X} - \delta;\ \overline{X} + \delta)\) с вероятностью не меньше \(0{,}95\).
При уровне доверия \(0{,}95\) полуширина доверительного интервала \(\delta = \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}05N}}\) обратно пропорциональна \(\sqrt{N}\). Поэтому при увеличении объёма выборки границы \(\overline{X} - \delta\) и \(\overline{X} + \delta\) сближаются, интервал сужается к частоте, и оценка вероятности становится точнее; чтобы сузить интервал вдвое, объём выборки нужно увеличить в 4 раза. Например, при \(N = 20\) получаем \(\delta = \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}05 \cdot 20}} = 0{,}5\) — интервал длиной 1 почти ничего не говорит о вероятности; при \(N = 500\) — \(\delta = \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}05 \cdot 500}} = \frac{0{,}5}{5} = 0{,}1\); при \(N = 2000\) — \(\delta = \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}05 \cdot 2000}} = \frac{0{,}5}{10} = 0{,}05\); при \(N = 50\,000\) — \(\delta = \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}05 \cdot 50\,000}} = \frac{0{,}5}{50} = 0{,}01\).
Ответ: при увеличении объёма выборки \(N\) полуширина интервала \(\delta = \frac{0{,}5}{\sqrt{0{,}05N}}\) уменьшается обратно пропорционально \(\sqrt{N}\): границы интервала сближаются и приближаются к частоте события, интервал сужается (при увеличении \(N\) в 4 раза — вдвое), и оценка вероятности становится точнее.
