Страница 33 номер 22, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
\(X\) — рост случайно выбранного мужчины двадцати лет, см; \(a = E(X)\) — неизвестный средний рост, \(\sigma^2 = D(X)\) — дисперсия роста; стандартное отклонение \(\sigma \leqslant 5\) см, значит, \(\sigma^2 \leqslant 25\). Величины выборки \(X_1, X_2, \ldots, X_N\) независимы и распределены так же, как \(X\), поэтому \(E(\overline{X}) = a\), \(D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{N}\). Ищем объём выборки \(N\), при котором неравенство \(|\overline{X} - a| \leqslant 1\) (выборочное среднее отличается от \(a\) не больше чем на 1 см) выполняется с вероятностью не меньше \(0{,}95\).
По неравенству Чебышёва при \(\delta = 1\):
\[P(|\overline{X} - a| < 1) \geqslant 1 - \frac{\sigma^2}{N \cdot 1^2} \geqslant 1 - \frac{25}{N}.\]
Событие \(|\overline{X} - a| < 1\) входит в событие \(|\overline{X} - a| \leqslant 1\), поэтому и вероятность последнего не меньше \(1 - \frac{25}{N}\); эта граница не меньше \(0{,}95\), когда (число \(N\) положительно)
\[\begin{aligned} 1 - \frac{25}{N} &\geqslant 0{,}95; \\ \frac{25}{N} &\leqslant 0{,}05; \qquad | \cdot N \\ 25 &\leqslant 0{,}05N; \qquad | : 0{,}05 \\ 500 &\leqslant N. \end{aligned}\]
Наименьшее такое \(N\) — 500.
Ответ: 500 мужчин: при \(N \geqslant 500\) с вероятностью не меньше \(0{,}95\) выборочное среднее роста отличается от математического ожидания не больше чем на 1 см.
Пусть \(X\) — рост случайно выбранного мужчины двадцати лет (в сантиметрах), \(a = E(X)\) — неизвестный средний рост, \(\sigma^2 = D(X)\) — дисперсия роста. По условию стандартное отклонение \(\sigma \leqslant 5\) см, значит, \(\sigma^2 \leqslant 25\). Выборка объёма \(N\) — независимые величины \(X_1, X_2, \ldots, X_N\), распределённые так же, как \(X\), поэтому для выборочного среднего \(E(\overline{X}) = a\) и \(D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{N}\). Нужно найти объём выборки \(N\), при котором с вероятностью не меньше \(0{,}95\) выборочное среднее отличается от \(a\) не больше чем на 1 см, т. е. \(|\overline{X} - a| \leqslant 1\).
По неравенству Чебышёва для выборочного среднего при \(\delta = 1\), учитывая, что \(\sigma^2 \leqslant 25\):
\[P(|\overline{X} - a| < 1) \geqslant 1 - \frac{\sigma^2}{N \cdot 1^2} \geqslant 1 - \frac{25}{N}.\]
Событие \(|\overline{X} - a| < 1\) входит в событие \(|\overline{X} - a| \leqslant 1\), поэтому вероятность последнего тоже не меньше \(1 - \frac{25}{N}\). Эта граница не меньше \(0{,}95\), когда (число \(N\) положительно)
\[\begin{aligned} 1 - \frac{25}{N} &\geqslant 0{,}95; \\ \frac{25}{N} &\leqslant 0{,}05; \qquad | \cdot N \\ 25 &\leqslant 0{,}05N; \qquad | : 0{,}05 \\ 500 &\leqslant N. \end{aligned}\]
Наименьшее такое \(N\) — 500: при \(N = 500\) граница равна \(1 - \frac{25}{500} = 0{,}95\), а при \(N = 499\) она уже меньше \(0{,}95\).
Ответ: 500 мужчин: при \(N \geqslant 500\) с вероятностью не меньше \(0{,}95\) выборочное среднее роста отличается от математического ожидания не больше чем на 1 см.
