Страница 12 номер 12, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Вероятность рождения девочки равна приблизительно 0,485. Оцените вероятность того, что доля девочек среди 3000 новорождённых будет отличаться от 0,485 меньше чем а) на 0,1; б) на 0,05; в) на 0,02; г) на 0,01.
\(Y\) — доля (частота) девочек среди 3000 новорождённых. Рождение каждого ребёнка — независимый опыт, в котором девочка рождается с одной и той же вероятностью \(p = 0{,}485\) (допущение модели). \(N = 3000\), \(q = 1 - 0{,}485 = 0{,}515\), \(pq = 0{,}485 \cdot 0{,}515 = 0{,}249775\); по теореме Бернулли \(P(|Y - p| < \delta) \geqslant 1 - \frac{pq}{N\delta^2}\) для любого \(\delta > 0\).
Дробь \(\frac{pq}{N\delta^2}\) в каждом пункте — бесконечная десятичная; округляем её до четырёх знаков после запятой в большую сторону — граница \(1 - \frac{pq}{N\delta^2}\) округляется в меньшую, и оценка остаётся верной.
а) \(\delta = 0{,}1\):
\[\begin{aligned} &P(|Y - 0{,}485| < 0{,}1) \geqslant 1 - \frac{0{,}249775}{3000 \cdot 0{,}1^2} = {} \\ &= 1 - \frac{0{,}249775}{30} > 1 - 0{,}0084 = 0{,}9916. \end{aligned}\]
б) \(\delta = 0{,}05\):
\[\begin{aligned} &P(|Y - 0{,}485| < 0{,}05) \geqslant 1 - \frac{0{,}249775}{3000 \cdot 0{,}05^2} = {} \\ &= 1 - \frac{0{,}249775}{7{,}5} > 1 - 0{,}0334 = 0{,}9666. \end{aligned}\]
в) \(\delta = 0{,}02\):
\[\begin{aligned} &P(|Y - 0{,}485| < 0{,}02) \geqslant 1 - \frac{0{,}249775}{3000 \cdot 0{,}02^2} = {} \\ &= 1 - \frac{0{,}249775}{1{,}2} > 1 - 0{,}2082 = 0{,}7918. \end{aligned}\]
г) \(\delta = 0{,}01\):
\[\begin{aligned} &P(|Y - 0{,}485| < 0{,}01) \geqslant 1 - \frac{0{,}249775}{3000 \cdot 0{,}01^2} = {} \\ &= 1 - \frac{0{,}249775}{0{,}3} > 1 - 0{,}8326 = 0{,}1674. \end{aligned}\]
Чем меньше \(\delta\), тем слабее оценка: при \(\delta = 0{,}01\) она гарантирует вероятность не меньше всего лишь \(0{,}1674\).
Ответ: вероятность того, что доля девочек среди 3000 новорождённых будет отличаться от \(0{,}485\) меньше чем на \(\delta\), не меньше: а) \(0{,}9916\) при \(\delta = 0{,}1\); б) \(0{,}9666\) при \(\delta = 0{,}05\); в) \(0{,}7918\) при \(\delta = 0{,}02\); г) \(0{,}1674\) при \(\delta = 0{,}01\).
Вероятность рождения девочки равна приблизительно 0,485. Оцените вероятность того, что доля девочек среди 3000 новорождённых будет отличаться от 0,485 меньше чем а) на 0,1; б) на 0,05; в) на 0,02; г) на 0,01.
Пусть \(Y\) — доля (частота) девочек среди 3000 новорождённых. Рождение каждого ребёнка будем считать независимым опытом, в котором девочка рождается с одной и той же вероятностью \(p = 0{,}485\) (допущение модели). Тогда \(N = 3000\), \(q = 1 - 0{,}485 = 0{,}515\), \(pq = 0{,}485 \cdot 0{,}515 = 0{,}249775\), и по теореме Бернулли \(P(|Y - p| < \delta) \geqslant 1 - \frac{pq}{N\delta^2}\) для любого \(\delta > 0\).
В каждом пункте дробь \(\frac{pq}{N\delta^2}\) — бесконечная десятичная; округлим её до четырёх знаков после запятой в большую сторону — тогда граница \(1 - \frac{pq}{N\delta^2}\) округлится в меньшую сторону и оценка останется верной.
а) \(\delta = 0{,}1\):
\[\begin{aligned} &P(|Y - 0{,}485| < 0{,}1) \geqslant 1 - \frac{0{,}249775}{3000 \cdot 0{,}1^2} = {} \\ &= 1 - \frac{0{,}249775}{30} > 1 - 0{,}0084 = 0{,}9916. \end{aligned}\]
б) \(\delta = 0{,}05\):
\[\begin{aligned} &P(|Y - 0{,}485| < 0{,}05) \geqslant 1 - \frac{0{,}249775}{3000 \cdot 0{,}05^2} = {} \\ &= 1 - \frac{0{,}249775}{7{,}5} > 1 - 0{,}0334 = 0{,}9666. \end{aligned}\]
в) \(\delta = 0{,}02\):
\[\begin{aligned} &P(|Y - 0{,}485| < 0{,}02) \geqslant 1 - \frac{0{,}249775}{3000 \cdot 0{,}02^2} = {} \\ &= 1 - \frac{0{,}249775}{1{,}2} > 1 - 0{,}2082 = 0{,}7918. \end{aligned}\]
г) \(\delta = 0{,}01\):
\[\begin{aligned} &P(|Y - 0{,}485| < 0{,}01) \geqslant 1 - \frac{0{,}249775}{3000 \cdot 0{,}01^2} = {} \\ &= 1 - \frac{0{,}249775}{0{,}3} > 1 - 0{,}8326 = 0{,}1674. \end{aligned}\]
Чем меньше \(\delta\), тем слабее оценка: при \(\delta = 0{,}01\) она гарантирует вероятность не меньше всего лишь \(0{,}1674\) — для такой точности 3000 новорождённых по этой оценке мало.
Ответ: вероятность того, что доля девочек среди 3000 новорождённых будет отличаться от \(0{,}485\) меньше чем на \(\delta\), не меньше: а) \(0{,}9916\) при \(\delta = 0{,}1\); б) \(0{,}9666\) при \(\delta = 0{,}05\); в) \(0{,}7918\) при \(\delta = 0{,}02\); г) \(0{,}1674\) при \(\delta = 0{,}01\).
