Страница 13 номер 17, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Поезд в город ходит раз в сутки; каждый из 2500 жителей посёлка ездит на нём примерно 6 раз в месяц, выбирая дни случайно и независимо от остальных. В месяце 30 дней (допущение модели): в любой день каждый житель едет этим поездом с вероятностью \(p = \frac{6}{30} = 0{,}2\), \(q = 0{,}8\). \(X\) — число пассажиров поезда в какой-то день, число успехов в \(N = 2500\) испытаниях Бернулли:
\[\begin{aligned} E(X) &= 2500 \cdot 0{,}2 = 500; \\ D(X) &= 2500 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8 = 400. \end{aligned}\]
\(M\) — вместимость поезда; поезд переполняется, когда \(X > M\). «В среднем один раз за 100 дней» означает, что вероятность переполнения должна быть не больше \(\frac{1}{100} = 0{,}01\). Обозначим \(\delta = M - 500\); оценка по неравенству Чебышёва требует \(\delta > 0\). Если \(X > M\), то \(X - 500 > \delta\) и тем более \(|X - 500| \geqslant \delta\); по неравенству Чебышёва
\[P(X > M) \leqslant P(|X - 500| \geqslant \delta) \leqslant \frac{400}{\delta^2}.\]
Условие \(P(X > M) \leqslant 0{,}01\) выполнено, если \(\frac{400}{\delta^2} \leqslant 0{,}01\) (число \(\delta^2\) положительно):
\[\begin{aligned} \frac{400}{\delta^2} &\leqslant 0{,}01; \qquad | \cdot \delta^2 \\ 400 &\leqslant 0{,}01\delta^2; \qquad | : 0{,}01 \\ 40\,000 &\leqslant \delta^2. \end{aligned}\]
Так как \(\delta > 0\), отсюда \(\delta \geqslant 200\), т. е. \(M - 500 \geqslant 200\) и \(M \geqslant 700\). При \(M = 700\) получаем \(P(X > 700) \leqslant \frac{400}{200^2} = 0{,}01\): поезд переполняется в среднем не чаще одного раза за 100 дней. Наименьшая вместимость, при которой оценка это гарантирует, — 700 человек.
Ответ: 700 человек.
В посёлке 2500 жителей; поезд в город ходит раз в сутки, и каждый житель ездит на нём примерно 6 раз в месяц, выбирая дни случайно и независимо от остальных. Будем считать, что в месяце 30 дней (допущение модели); тогда в любой день каждый житель едет этим поездом с вероятностью \(p = \frac{6}{30} = 0{,}2\), \(q = 0{,}8\). Пусть \(X\) — число пассажиров поезда в какой-то день. Величина \(X\) — число успехов в \(N = 2500\) испытаниях Бернулли, поэтому
\[\begin{aligned} E(X) &= 2500 \cdot 0{,}2 = 500; \\ D(X) &= 2500 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8 = 400. \end{aligned}\]
Пусть \(M\) — вместимость поезда; он переполняется, когда \(X > M\). «В среднем один раз за 100 дней» означает, что вероятность переполнения должна быть не больше \(\frac{1}{100} = 0{,}01\). Обозначим \(\delta = M - 500\); оценка по неравенству Чебышёва требует \(\delta > 0\). Если \(X > M\), то \(X - 500 > \delta\) и тем более \(|X - 500| \geqslant \delta\): событие \(X > M\) входит в событие \(|X - 500| \geqslant \delta\) (в него входят ещё и дни, когда \(X \leqslant 500 - \delta\)). По неравенству Чебышёва
\[P(X > M) \leqslant P(|X - 500| \geqslant \delta) \leqslant \frac{400}{\delta^2}.\]
Значит, условие \(P(X > M) \leqslant 0{,}01\) выполнено, если \(\frac{400}{\delta^2} \leqslant 0{,}01\) (число \(\delta^2\) положительно):
\[\begin{aligned} \frac{400}{\delta^2} &\leqslant 0{,}01; \qquad | \cdot \delta^2 \\ 400 &\leqslant 0{,}01\delta^2; \qquad | : 0{,}01 \\ 40\,000 &\leqslant \delta^2. \end{aligned}\]
Так как \(\delta > 0\), отсюда \(\delta \geqslant 200\), т. е. \(M - 500 \geqslant 200\) и \(M \geqslant 700\). При \(M = 700\) получаем \(P(X > 700) \leqslant \frac{400}{200^2} = 0{,}01\): поезд переполняется в среднем не чаще одного раза за 100 дней. Наименьшая вместимость, при которой оценка это гарантирует, — 700 человек.
Ответ: 700 человек.
