Вопросы к пункту 3 «Гипотеза о математическом ожидании» на странице 45, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича вероятность и статистика

Вопросы к пункту 3 «Гипотеза о математическом ожидании».

Пусть \(m\) — число, которому, как предполагается, равно математическое ожидание величины \(X\) (норма, прежнее значение). Основная гипотеза \(H_0\): \(E(X) = m\) — математическое ожидание не изменилось, ничего особенного не произошло. Альтернативу \(H_1\) выбирают по смыслу исследования: двустороннюю \(H_1\): \(E(X) \ne m\) — если важны отклонения в обе стороны, одностороннюю \(H_1\): \(E(X) < m\) или \(H_1\): \(E(X) > m\) — если важно отклонение только в одну сторону.

Например, пусть \(X\) — длина болта, который выпускает станок (мм), а по норме длина равна 50 мм. Наладчику станка важны отклонения в обе стороны, и он проверяет \(H_0\): \(E(X) = 50\) против \(H_1\): \(E(X) \ne 50\). Покупателю, которому слишком короткие болты не подходят, а длинные не мешают, достаточно односторонней альтернативы \(H_1\): \(E(X) < 50\).

Ответ: \(H_0\): \(E(X) = m\); \(H_1\): \(E(X) \ne m\) (двусторонняя альтернатива) или \(H_1\): \(E(X) < m\), \(H_1\): \(E(X) > m\) (односторонние альтернативы).

Хлебозавод выпекает батоны массой 400 г, стандартное отклонение массы батона — 10 г. Покупатели жалуются, что батоны стали легче. Пусть \(X\) — масса батона (г). Контролёр взвешивает 20 случайно выбранных батонов, находит их среднюю массу \(\overline{X}\) и проверяет гипотезу \(H_0\): \(E(X) = 400\) (батоны в среднем соответствуют норме) против альтернативы \(H_1\): \(E(X) < 400\) (батоны в среднем легче нормы). Если выбрать уровень значимости \(0{,}05\), то критическое отклонение \(\delta = \frac{10}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{0{,}05}} = 10\) г, и гипотезу \(H_0\) отвергают, когда средняя масса 20 батонов не больше \(400 - 10 = 390\) г.

Ответ: например, проверка средней массы батонов: \(H_0\): \(E(X) = 400\) г (масса батона в среднем соответствует норме), \(H_1\): \(E(X) < 400\) г (батоны в среднем легче) — по средней массе 20 случайно выбранных батонов.

Статистический критерий — это правило (инструкция), которое по данным случайной выборки указывает, какую из двух гипотез, \(H_0\) или \(H_1\), следует принять. Для гипотезы \(H_0\): \(E(X) = m\) критерий такой: выбрать наугад \(N\) значений величины \(X\) и найти их среднее арифметическое \(\overline{X}\); если \(|\overline{X} - m| \geqslant \delta\), гипотезу \(H_0\) отвергнуть, иначе — принять. Критическое отклонение \(\delta\) находят заранее по выбранному уровню значимости. Например, для батонов из предыдущего ответа критерий такой: взвесить 20 случайно выбранных батонов; если их средняя масса не больше 390 г, считать, что батоны стали легче нормы, иначе — что оснований для такого вывода нет.

Ответ: статистический критерий — правило, по которому на основе данных случайной выборки решают, какую из двух гипотез, \(H_0\) или \(H_1\), принять; например, «если \(|\overline{X} - m| \geqslant \delta\), гипотезу \(H_0\) отвергают, иначе принимают».

Уровень значимости критерия — это число \(\alpha\), которым ограничивают вероятность ошибки первого рода, т. е. вероятность того, что при справедливой гипотезе \(H_0\) среднее \(\overline{X}\) попадёт в критическую область и гипотеза \(H_0\) будет отвергнута. Значение \(\alpha\) задают заранее, до выбора критической области; чаще всего берут одно из стандартных значений \(0{,}1\); \(0{,}05\); \(0{,}01\). Чем серьёзнее последствия ошибки первого рода, тем меньше выбирают \(\alpha\): при наладке станка ошибка обойдётся лишней остановкой, и можно взять \(\alpha = 0{,}1\), а при испытании нового лекарства ошибка означает выпуск бесполезного препарата, и берут \(0{,}05\) или \(0{,}01\).

По выбранному \(\alpha\) находят критическое отклонение. Если гипотеза \(H_0\) справедлива, а \(\overline{X}\) — среднее \(N\) независимых наблюдений величины \(X\) со стандартным отклонением \(\sigma\), то по неравенству Чебышёва \(P(|\overline{X} - m| \geqslant \delta) \leqslant \frac{\sigma^2}{N\delta^2}\); если взять \(\delta\) из равенства \(\frac{\sigma^2}{N\delta^2} = \alpha\), то вероятность ошибки первого рода будет не больше \(\alpha\).

Ответ: уровнем значимости критерия называется заранее заданное число \(\alpha\) — допустимая вероятность ошибки первого рода, т. е. того, что гипотеза \(H_0\) будет отвергнута, когда она справедлива; обычно \(\alpha\) равно \(0{,}1\); \(0{,}05\) или \(0{,}01\).

Пусть гипотеза \(H_0\): \(E(X) = m\) проверяется против двусторонней альтернативы \(H_1\): \(E(X) \ne m\) по среднему арифметическому \(\overline{X}\) из \(N\) независимых наблюдений величины \(X\), стандартное отклонение которой равно \(\sigma\). Критическая область — множество значений \(\overline{X}\), которые отклоняются от \(m\) не меньше чем на критическое отклонение \(\delta = \frac{\sigma}{\sqrt{N} \cdot \sqrt{\alpha}}\): \(|\overline{X} - m| \geqslant \delta\), т. е. \(\overline{X} \leqslant m - \delta\) или \(\overline{X} \geqslant m + \delta\). На числовой прямой это два луча; их концы \(m - \delta\) и \(m + \delta\) входят в критическую область, а промежуток \((m - \delta;\ m + \delta)\) вокруг точки \(m\) — нет: если среднее попало в него, гипотезу \(H_0\) принимают.

При односторонней альтернативе критическая область — один из этих лучей с тем же \(\delta\): \(\overline{X} \leqslant m - \delta\) при \(H_1\): \(E(X) < m\) и \(\overline{X} \geqslant m + \delta\) при \(H_1\): \(E(X) > m\). Луч — часть области \(|\overline{X} - m| \geqslant \delta\), поэтому вероятность попасть в него при справедливой гипотезе \(H_0\) тоже не больше \(\alpha\).

Ответ: критическая область — множество значений среднего \(\overline{X}\), для которых \(|\overline{X} - m| \geqslant \delta\), где \(\delta = \frac{\sigma}{\sqrt{N} \cdot \sqrt{\alpha}}\): два луча \(\overline{X} \leqslant m - \delta\) и \(\overline{X} \geqslant m + \delta\) (концы входят в область); при односторонней альтернативе — один из этих лучей.