Страница 7 номер 10, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
В задачах 7—11 используйте для оценки вероятностей неравенство Чебышёва. Масса яблока имеет математическое ожидание 200 г и стандартное отклонение 50 г. Оцените вероятность того, что в 100 кг окажется не менее 490 яблок.
\(X\) — масса случайно взятого яблока, г: \(E(X) = 200\), стандартное отклонение равно 50, поэтому \(D(X) = 50^2 = 2500\). \(S\) — общая масса 490 взятых наугад яблок, г. «В 100 кг окажется не менее 490 яблок» означает, что 490 яблок весят не больше 100 кг, т. е. \(100\,000\) г: оцениваем \(P(S \leqslant 100\,000)\).
Массы разных яблок считаем независимыми (допущение модели: яблоки берут наугад), поэтому дисперсия суммы равна сумме дисперсий:
\[\begin{aligned} E(S) &= 490 \cdot E(X) = 490 \cdot 200 = 98\,000; \\ D(S) &= 490 \cdot D(X) = 490 \cdot 2500 = 1\,225\,000. \end{aligned}\]
Событие \(S \leqslant 100\,000\) противоположно событию \(S > 100\,000\). Если \(S > 100\,000\), то \(S - 98\,000 > 2000\) и тем более \(|S - 98\,000| \geqslant 2000\); по неравенству Чебышёва
\[\begin{aligned} &P(S > 100\,000) \leqslant P(|S - 98\,000| \geqslant 2000) \leqslant {} \\ &\leqslant \frac{D(S)}{2000^2} = \frac{1\,225\,000}{4\,000\,000} = 0{,}30625. \end{aligned}\]
Значит,
\[P(S \leqslant 100\,000) = 1 - P(S > 100\,000) \geqslant 1 - 0{,}30625 = 0{,}69375.\]
Ответ: вероятность того, что в 100 кг окажется не менее 490 яблок, не меньше \(0{,}69375\).
В задачах 7—11 используйте для оценки вероятностей неравенство Чебышёва. Масса яблока имеет математическое ожидание 200 г и стандартное отклонение 50 г. Оцените вероятность того, что в 100 кг окажется не менее 490 яблок.
Пусть \(X\) — масса случайно взятого яблока (в граммах): по условию \(E(X) = 200\), стандартное отклонение равно 50, поэтому \(D(X) = 50^2 = 2500\). Возьмём наугад 490 яблок и обозначим через \(S\) их общую массу (в граммах). «В 100 кг окажется не менее 490 яблок» означает, что 490 яблок весят не больше 100 кг, т. е. \(100\,000\) г: нужно оценить \(P(S \leqslant 100\,000)\).
Массы разных яблок будем считать независимыми случайными величинами (допущение модели: яблоки берут наугад). Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, а дисперсия суммы независимых величин — сумме их дисперсий:
\[\begin{aligned} E(S) &= 490 \cdot E(X) = 490 \cdot 200 = 98\,000; \\ D(S) &= 490 \cdot D(X) = 490 \cdot 2500 = 1\,225\,000. \end{aligned}\]
Дисперсия суммы — не \(490^2 \cdot D(X)\): \(S\) — сумма масс 490 разных яблок, а не масса одного яблока, умноженная на 490.
Событие \(S \leqslant 100\,000\) противоположно событию \(S > 100\,000\). Если \(S > 100\,000\), то \(S - 98\,000 > 2000\) и тем более \(|S - 98\,000| \geqslant 2000\). По неравенству Чебышёва
\[\begin{aligned} &P(S > 100\,000) \leqslant P(|S - 98\,000| \geqslant 2000) \leqslant {} \\ &\leqslant \frac{D(S)}{2000^2} = \frac{1\,225\,000}{4\,000\,000} = 0{,}30625. \end{aligned}\]
Значит,
\[P(S \leqslant 100\,000) = 1 - P(S > 100\,000) \geqslant 1 - 0{,}30625 = 0{,}69375.\]
Ответ: вероятность того, что в 100 кг окажется не менее 490 яблок, не меньше \(0{,}69375\).
