Страница 7 номер 7, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Случайная величина \(X\): \(E(X) = 1\), \(D(X) = 0{,}04\); вероятность события \(X > 1{,}5\) оцениваем по неравенству Чебышёва.
Если \(X > 1{,}5\), то \(X - 1 > 0{,}5\) и тем более \(|X - 1| \geqslant 0{,}5\): событие \(X > 1{,}5\) входит в событие \(|X - 1| \geqslant 0{,}5\), поэтому
\[P(X > 1{,}5) \leqslant P(|X - 1| \geqslant 0{,}5) \leqslant \frac{D(X)}{0{,}5^2} = \frac{0{,}04}{0{,}25} = 0{,}16.\]
В упражнении 1 о неотрицательной величине \(X\) было известно только математическое ожидание \(E(X) = 1\), и неравенство Маркова дало \(P(X > 1{,}5) \leqslant \frac{2}{3}\).
\(\frac{2}{3} : 0{,}16 = \frac{25}{6} > 4\) — новая оценка больше чем вчетверо точнее.
Разница в том, что теперь известна ещё и дисперсия, и она мала: стандартное отклонение \(\sigma = \sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), значения \(X\) сосредоточены около 1, и отклонение на \(0{,}5\) — это \(2{,}5\) стандартных отклонения; одно математическое ожидание ничего не говорит о разбросе значений. К величине этой задачи неравенство Маркова и неприменимо: её неотрицательность не дана.
Ответ: \(P(X > 1{,}5) \leqslant 0{,}16\); эта оценка больше чем вчетверо точнее оценки \(\frac{2}{3}\) из упражнения 1, потому что, кроме математического ожидания, использована малая дисперсия \(D(X) = 0{,}04\): значения \(X\) сосредоточены около 1.
По условию случайная величина \(X\) имеет математическое ожидание \(E(X) = 1\) и дисперсию \(D(X) = 0{,}04\); оценим по неравенству Чебышёва вероятность события \(X > 1{,}5\).
Если \(X > 1{,}5\), то \(X - 1 > 0{,}5\) и тем более \(|X - 1| \geqslant 0{,}5\). Значит, событие \(X > 1{,}5\) входит в событие \(|X - 1| \geqslant 0{,}5\) (в него входят ещё и значения \(X \leqslant 0{,}5\)), и по неравенству Чебышёва
\[P(X > 1{,}5) \leqslant P(|X - 1| \geqslant 0{,}5) \leqslant \frac{D(X)}{0{,}5^2} = \frac{0{,}04}{0{,}25} = 0{,}16.\]
В упражнении 1 о неотрицательной величине \(X\) было известно только математическое ожидание \(E(X) = 1\), и неравенство Маркова дало \(P(X > 1{,}5) \leqslant \frac{2}{3}\). Новая оценка больше чем вчетверо точнее: \(\frac{2}{3} : 0{,}16 = \frac{25}{6} > 4\). Разница в том, что теперь известна ещё и дисперсия, и она мала: стандартное отклонение \(\sigma = \sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), значения \(X\) сосредоточены около 1, и отклонение на \(0{,}5\) — это \(2{,}5\) стандартных отклонения. Одно математическое ожидание ничего не говорит о разбросе значений, поэтому оценка в упражнении 1 грубее. К величине этой задачи неравенство Маркова и неприменимо: её неотрицательность не дана.
Ответ: \(P(X > 1{,}5) \leqslant 0{,}16\); эта оценка больше чем вчетверо точнее оценки \(\frac{2}{3}\) из упражнения 1, потому что, кроме математического ожидания, использована малая дисперсия \(D(X) = 0{,}04\): значения \(X\) сосредоточены около 1.
