Страница 7 номер 11, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
В задачах 7—11 используйте для оценки вероятностей неравенство Чебышёва. Масса арбуза имеет математическое ожидание 10 кг и стандартное отклонение 2 кг. Оцените вероятность того, что в 1 т окажется не более 105 арбузов.
\(X\) — масса случайно взятого арбуза, кг: \(E(X) = 10\), стандартное отклонение равно 2, поэтому \(D(X) = 2^2 = 4\). \(S\) — общая масса 105 взятых наугад арбузов, кг. «В 1 т окажется не более 105 арбузов» означает, что 105 арбузов весят не меньше 1 т, т. е. 1000 кг: оцениваем \(P(S \geqslant 1000)\).
Массы разных арбузов считаем независимыми (допущение модели), поэтому дисперсия суммы равна сумме дисперсий:
\[\begin{aligned} E(S) &= 105 \cdot E(X) = 105 \cdot 10 = 1050; \\ D(S) &= 105 \cdot D(X) = 105 \cdot 4 = 420. \end{aligned}\]
Событие \(S \geqslant 1000\) противоположно событию \(S < 1000\). Если \(S < 1000\), то \(S - 1050 < -50\) и тем более \(|S - 1050| \geqslant 50\); по неравенству Чебышёва
\[P(S < 1000) \leqslant P(|S - 1050| \geqslant 50) \leqslant \frac{D(S)}{50^2} = \frac{420}{2500} = 0{,}168.\]
Значит,
\[P(S \geqslant 1000) = 1 - P(S < 1000) \geqslant 1 - 0{,}168 = 0{,}832.\]
Ответ: вероятность того, что в 1 т окажется не более 105 арбузов, не меньше \(0{,}832\).
В задачах 7—11 используйте для оценки вероятностей неравенство Чебышёва. Масса арбуза имеет математическое ожидание 10 кг и стандартное отклонение 2 кг. Оцените вероятность того, что в 1 т окажется не более 105 арбузов.
Пусть \(X\) — масса случайно взятого арбуза (в килограммах): по условию \(E(X) = 10\), стандартное отклонение равно 2, поэтому \(D(X) = 2^2 = 4\). Возьмём наугад 105 арбузов и обозначим через \(S\) их общую массу (в килограммах). «В 1 т окажется не более 105 арбузов» означает, что 105 арбузов весят не меньше 1 т, т. е. 1000 кг: нужно оценить \(P(S \geqslant 1000)\).
Массы разных арбузов будем считать независимыми случайными величинами (допущение модели). Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, а дисперсия суммы независимых величин — сумме их дисперсий:
\[\begin{aligned} E(S) &= 105 \cdot E(X) = 105 \cdot 10 = 1050; \\ D(S) &= 105 \cdot D(X) = 105 \cdot 4 = 420. \end{aligned}\]
Событие \(S \geqslant 1000\) противоположно событию \(S < 1000\). Если \(S < 1000\), то \(S - 1050 < -50\) и тем более \(|S - 1050| \geqslant 50\). По неравенству Чебышёва
\[P(S < 1000) \leqslant P(|S - 1050| \geqslant 50) \leqslant \frac{D(S)}{50^2} = \frac{420}{2500} = 0{,}168.\]
Значит,
\[P(S \geqslant 1000) = 1 - P(S < 1000) \geqslant 1 - 0{,}168 = 0{,}832.\]
Ответ: вероятность того, что в 1 т окажется не более 105 арбузов, не меньше \(0{,}832\).
