Страница 33 номер 21, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Монету подбросили 300 раз, из которых 120 раз на ней выпал орёл. Оцените по этим данным, в каком промежутке с вероятностью 0,9 находится вероятность выпадения орла.
\(p\) — неизвестная вероятность выпадения орла при одном броске монеты, \(X\) — индикатор выпадения орла (\(X = 1\) — орёл, \(X = 0\) — решка). Броски независимы и проводятся в одинаковых условиях, поэтому 300 бросков дают выборку \(X_1, X_2, \ldots, X_{300}\) объёма \(N = 300\), а её выборочное среднее \(\overline{X}\) — частота выпадения орла:
\[\overline{X} = \frac{120}{300} = 0{,}4.\]
\(E(\overline{X}) = p\), \(D(\overline{X}) = \frac{p(1 - p)}{300}\); по неравенству Чебышёва для любого \(\delta > 0\)
\[P(|\overline{X} - p| < \delta) \geqslant 1 - \frac{p(1 - p)}{300\delta^2}.\]
Вероятность \(p\) неизвестна (подставить вместо неё частоту \(0{,}4\) нельзя), но при любом \(p\) от 0 до 1 произведение \(p(1 - p) \leqslant 0{,}25\): функция \(y = x(1 - x)\) принимает наибольшее значение \(0{,}25\) в вершине параболы, при \(x = 0{,}5\). Поэтому правая часть не меньше \(1 - \frac{0{,}25}{300\delta^2}\), и уровень доверия \(0{,}9\) обеспечен, если (число \(300\delta^2\) положительно)
\[\begin{aligned} 1 - \frac{0{,}25}{300\delta^2} &\geqslant 0{,}9; \\ \frac{0{,}25}{300\delta^2} &\leqslant 0{,}1; \qquad | \cdot 300\delta^2 \\ 0{,}25 &\leqslant 30\delta^2; \qquad | : 30 \\ \frac{1}{120} &\leqslant \delta^2. \end{aligned}\]
Так как \(\delta > 0\), отсюда \(\delta \geqslant \sqrt{\frac{1}{120}}\); округляем до тысячных в большую сторону: \(\delta = 0{,}092\) (при \(0{,}091\) неравенство нарушилось бы: \(0{,}091^2 = 0{,}008281 < \frac{1}{120}\)).
\(300 \cdot 0{,}092^2 = 2{,}5392\), поэтому
\[P(|\overline{X} - p| < 0{,}092) \geqslant 1 - \frac{p(1 - p)}{2{,}5392} \geqslant 1 - \frac{0{,}25}{2{,}5392} > 1 - \frac{0{,}25}{2{,}5} = 0{,}9.\]
Значит, с вероятностью не меньше \(0{,}9\) выполняется неравенство \(\overline{X} - 0{,}092 < p < \overline{X} + 0{,}092\); при \(\overline{X} = 0{,}4\) это интервал \((0{,}4 - 0{,}092;\ 0{,}4 + 0{,}092)\), т. е. \((0{,}308;\ 0{,}492)\): вероятность выпадения орла \(p\) попадает в него с вероятностью не меньше \(0{,}9\).
Ответ: от \(0{,}308\) до \(0{,}492\): вероятность выпадения орла попадает в доверительный интервал \((0{,}308;\ 0{,}492)\) с вероятностью не меньше \(0{,}9\).
Монету подбросили 300 раз, из которых 120 раз на ней выпал орёл. Оцените по этим данным, в каком промежутке с вероятностью 0,9 находится вероятность выпадения орла.
Пусть \(p\) — неизвестная вероятность выпадения орла при одном броске монеты, \(X\) — индикатор выпадения орла: \(X = 1\), если выпал орёл, и \(X = 0\), если решка. Броски независимы и проводятся в одинаковых условиях, поэтому 300 бросков дают выборку \(X_1, X_2, \ldots, X_{300}\) объёма \(N = 300\), а её выборочное среднее \(\overline{X}\) — частота выпадения орла. В нашей серии
\[\overline{X} = \frac{120}{300} = 0{,}4.\]
Математическое ожидание индикатора равно \(p\), а дисперсия — \(p(1 - p)\), поэтому \(E(\overline{X}) = p\), \(D(\overline{X}) = \frac{p(1 - p)}{300}\), и по неравенству Чебышёва для любого \(\delta > 0\)
\[P(|\overline{X} - p| < \delta) \geqslant 1 - \frac{p(1 - p)}{300\delta^2}.\]
Подставить вместо \(p\) частоту \(0{,}4\) нельзя: вероятность \(p\) неизвестна. Но при любом \(p\) от 0 до 1 произведение \(p(1 - p) \leqslant 0{,}25\): квадратичная функция \(y = x(1 - x)\) принимает наибольшее значение \(0{,}25\) в вершине параболы, при \(x = 0{,}5\). Поэтому правая часть не меньше \(1 - \frac{0{,}25}{300\delta^2}\), и уровень доверия \(0{,}9\) обеспечен, если (число \(300\delta^2\) положительно)
\[\begin{aligned} 1 - \frac{0{,}25}{300\delta^2} &\geqslant 0{,}9; \\ \frac{0{,}25}{300\delta^2} &\leqslant 0{,}1; \qquad | \cdot 300\delta^2 \\ 0{,}25 &\leqslant 30\delta^2; \qquad | : 30 \\ \frac{1}{120} &\leqslant \delta^2. \end{aligned}\]
Так как \(\delta > 0\), отсюда \(\delta \geqslant \sqrt{\frac{1}{120}}\). Чем меньше \(\delta\), тем уже интервал, поэтому берём это значение, округлённое до тысячных в большую сторону, — \(\delta = 0{,}092\) (при округлении вниз, до \(0{,}091\), неравенство нарушилось бы: \(0{,}091^2 = 0{,}008281 < \frac{1}{120}\)). Так как \(300 \cdot 0{,}092^2 = 2{,}5392\), то
\[P(|\overline{X} - p| < 0{,}092) \geqslant 1 - \frac{p(1 - p)}{2{,}5392} \geqslant 1 - \frac{0{,}25}{2{,}5392} > 1 - \frac{0{,}25}{2{,}5} = 0{,}9.\]
Значит, с вероятностью не меньше \(0{,}9\) выполняется неравенство \(|\overline{X} - p| < 0{,}092\), т. е. \(\overline{X} - 0{,}092 < p < \overline{X} + 0{,}092\): неизвестная вероятность \(p\) лежит в интервале \((\overline{X} - 0{,}092;\ \overline{X} + 0{,}092)\). При нашей частоте \(\overline{X} = 0{,}4\) это интервал \((0{,}4 - 0{,}092;\ 0{,}4 + 0{,}092)\), т. е. \((0{,}308;\ 0{,}492)\): вероятность выпадения орла \(p\) попадает в него с вероятностью не меньше \(0{,}9\).
Ответ: от \(0{,}308\) до \(0{,}492\): вероятность выпадения орла попадает в доверительный интервал \((0{,}308;\ 0{,}492)\) с вероятностью не меньше \(0{,}9\).
