Страница 12 номер 14, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Страховой случай — примерно на каждый пятый договор: вероятность страхового случая по одному договору \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\), \(q = 0{,}8\). \(N\) — число заключённых договоров, \(Y\) — доля страховых случаев среди них; договоры — независимые опыты (допущение модели). Нужно найти, при каком \(N\) с вероятностью не меньше \(0{,}9\) доля \(Y\) отклонится от \(0{,}2\) не более чем на \(0{,}05\).
По теореме Бернулли
\[P(|Y - 0{,}2| < 0{,}05) \geqslant 1 - \frac{0{,}2 \cdot 0{,}8}{N \cdot 0{,}05^2} = 1 - \frac{64}{N}.\]
Событие \(|Y - 0{,}2| < 0{,}05\) входит в событие \(|Y - 0{,}2| \leqslant 0{,}05\) («не более чем на \(0{,}05\)»), поэтому вероятность последнего тоже не меньше \(1 - \frac{64}{N}\). Граница не меньше \(0{,}9\), когда (число \(N\) положительно — при умножении на \(N\) знак неравенства сохраняется)
\[\begin{aligned} 1 - \frac{64}{N} &\geqslant 0{,}9; \\ \frac{64}{N} &\leqslant 0{,}1; \qquad | \cdot N \\ 64 &\leqslant 0{,}1N; \qquad | : 0{,}1 \\ 640 &\leqslant N. \end{aligned}\]
Наименьшее такое \(N\) — 640.
Ответ: 640 договоров: при \(N \geqslant 640\) с вероятностью не меньше \(0{,}9\) доля страховых случаев отклонится от \(0{,}2\) не более чем на \(0{,}05\).
Страховой случай приходится примерно на каждый пятый договор, поэтому вероятность страхового случая по одному договору \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\), \(q = 0{,}8\). Пусть компания заключает \(N\) договоров, а \(Y\) — доля страховых случаев среди них; договоры будем считать независимыми опытами (допущение модели). Нужно найти, при каком \(N\) с вероятностью не меньше \(0{,}9\) доля \(Y\) отклонится от \(0{,}2\) не более чем на \(0{,}05\).
По теореме Бернулли
\[P(|Y - 0{,}2| < 0{,}05) \geqslant 1 - \frac{0{,}2 \cdot 0{,}8}{N \cdot 0{,}05^2} = 1 - \frac{64}{N}.\]
Событие \(|Y - 0{,}2| < 0{,}05\) входит в событие \(|Y - 0{,}2| \leqslant 0{,}05\) («не более чем на \(0{,}05\)»), поэтому вероятность последнего тоже не меньше \(1 - \frac{64}{N}\). Эта граница не меньше \(0{,}9\), когда (число \(N\) положительно, поэтому при умножении на \(N\) знак неравенства сохраняется)
\[\begin{aligned} 1 - \frac{64}{N} &\geqslant 0{,}9; \\ \frac{64}{N} &\leqslant 0{,}1; \qquad | \cdot N \\ 64 &\leqslant 0{,}1N; \qquad | : 0{,}1 \\ 640 &\leqslant N. \end{aligned}\]
Наименьшее такое \(N\) — 640.
Ответ: 640 договоров: при \(N \geqslant 640\) с вероятностью не меньше \(0{,}9\) доля страховых случаев отклонится от \(0{,}2\) не более чем на \(0{,}05\).
