Вопросы к пункту 4 «Выборочная дисперсия» на странице 29, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича вероятность и статистика

Вопросы к пункту 4 «Выборочная дисперсия».

Выборочная дисперсия выборки \(X_1, X_2, \ldots, X_N\) — это случайная величина, равная среднему квадрату отклонений значений выборки от выборочного среднего \(\overline{X}\):

\[S^2 = \frac{(X_1 - \overline{X})^2 + (X_2 - \overline{X})^2 + \ldots + (X_N - \overline{X})^2}{N}.\]

Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получают другую формулу: \(S^2 = \overline{X^2} - \overline{X}^2\), где \(\overline{X^2}\) — среднее арифметическое квадратов значений выборки. Если подставить значения, полученные в конкретной серии наблюдений, получится дисперсия этого числового набора. Выборочная дисперсия характеризует разброс значений выборки и служит оценкой дисперсии \(\sigma^2\) наблюдаемой величины. Например, для выборки 4, 7, 5, 6, 8 выборочное среднее равно 6, и обе формулы дают одно и то же:

\[\begin{aligned} S^2 &= \frac{(4 - 6)^2 + (7 - 6)^2 + (5 - 6)^2 + (6 - 6)^2 + (8 - 6)^2}{5} = \frac{10}{5} = 2; \\ S^2 &= \frac{4^2 + 7^2 + 5^2 + 6^2 + 8^2}{5} - 6^2 = \frac{190}{5} - 36 = 2. \end{aligned}\]

Ответ: выборочная дисперсия — средний квадрат отклонений значений выборки от выборочного среднего: \(S^2 = \frac{(X_1 - \overline{X})^2 + (X_2 - \overline{X})^2 + \ldots + (X_N - \overline{X})^2}{N}\); её можно вычислять и по формуле \(S^2 = \overline{X^2} - \overline{X}^2\).

Пусть наблюдаемая величина \(X\) имеет математическое ожидание \(a\) и дисперсию \(\sigma^2\), а объём выборки равен \(N\). Тогда

\[E(S^2) = \frac{N - 1}{N}\sigma^2.\]

Действительно, из формулы \(D(X) = E(X^2) - E^2(X)\) получаем \(E(X^2) = \sigma^2 + a^2\), и так же для каждой величины выборки: \(E(X_1^2) = \ldots = E(X_N^2) = \sigma^2 + a^2\), поэтому и \(E(\overline{X^2}) = \sigma^2 + a^2\). Для выборочного среднего \(E(\overline{X}) = a\) и \(D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{N}\), поэтому \(E(\overline{X}^2) = \frac{\sigma^2}{N} + a^2\). Значит,

\[E(S^2) = E(\overline{X^2}) - E(\overline{X}^2) = \sigma^2 + a^2 - \frac{\sigma^2}{N} - a^2 = \frac{N - 1}{N}\sigma^2.\]

Так как \(\frac{N - 1}{N} < 1\), выборочная дисперсия даёт несколько заниженную оценку дисперсии \(\sigma^2\), т. е. систематическую ошибку. При больших \(N\) множитель \(\frac{N - 1}{N}\) близок к 1 и \(E(S^2) \approx \sigma^2\), а при малых ошибка заметна: например, при \(N = 5\) получаем \(E(S^2) = 0{,}8\sigma^2\), а при \(N = 100\) — уже \(0{,}99\sigma^2\).

Ответ: \(E(S^2) = \frac{N - 1}{N}\sigma^2\), где \(\sigma^2\) — дисперсия наблюдаемой величины, \(N\) — объём выборки; это меньше \(\sigma^2\), т. е. выборочная дисперсия в среднем немного занижает дисперсию.

Чтобы устранить систематическую ошибку выборочной дисперсии, её умножают на \(\frac{N}{N - 1}\) и получают исправленную (несмещённую) выборочную дисперсию

\[S_0^2 = \frac{N}{N - 1}S^2.\]

Её математическое ожидание равно дисперсии наблюдаемой величины:

\[E(S_0^2) = \frac{N}{N - 1} \cdot E(S^2) = \frac{N}{N - 1} \cdot \frac{N - 1}{N}\sigma^2 = \sigma^2.\]

Обе выборочные дисперсии с ростом объёма выборки приближаются к \(\sigma^2\), т. е. обе — состоятельные оценки дисперсии, а \(S_0^2\) — ещё и несмещённая. При малых \(N\) они заметно различаются: для выборки 4, 7, 5, 6, 8 выборочная дисперсия \(S^2 = 2\), а исправленная \(S_0^2 = \frac{5}{4} \cdot 2 = 2{,}5\). Из исправленной дисперсии тоже извлекают корень: \(S_0 = \sqrt{S_0^2}\).

Ответ: исправленная (несмещённая) выборочная дисперсия — \(S_0^2 = \frac{N}{N - 1}S^2\); её математическое ожидание равно дисперсии \(\sigma^2\) наблюдаемой величины.