Страница 33 номер 18, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
\(X\) — число опечаток на странице; выборка объёма \(N = 20\) — числа опечаток на 20 страницах, напечатанных стенографисткой: 1, 3, 2, 5, 0, 2, 1, 2, 1, 7, 3, 2, 1, 2, 0, 2, 3, 4, 4, 1.
Частота значения — число страниц с таким числом опечаток, делённое на 20; значение 6 не встретилось, его частота равна 0.
\[\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c|c|c} \text{Число опечаток} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline \text{Число страниц} & 2 & 5 & 6 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ \hline \text{Частота} & 0{,}1 & 0{,}25 & 0{,}3 & 0{,}15 & 0{,}1 & 0{,}05 & 0 & 0{,}05 \end{array}\]
Полигон частот:
\(\overline{X}\) — выборочное среднее, \(\overline{X^2}\) — среднее арифметическое квадратов:
\[\begin{aligned} \overline{X} &= \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 1 + 7 \cdot 1}{20} = \frac{46}{20} = 2{,}3; \\ \overline{X^2} &= \frac{1^2 \cdot 5 + 2^2 \cdot 6 + 3^2 \cdot 3 + 4^2 \cdot 2 + 5^2 \cdot 1 + 7^2 \cdot 1}{20} = \frac{162}{20} = 8{,}1; \\ S^2 &= \overline{X^2} - \overline{X}^2 = 8{,}1 - 2{,}3^2 = 2{,}81; \\ S &= \sqrt{2{,}81} \approx 1{,}676. \end{aligned}\]
Ответ: среднее арифметическое числа опечаток на странице \(\overline{X} = 2{,}3\), выборочная дисперсия \(S^2 = 2{,}81\), стандартное отклонение \(S \approx 1{,}676\); таблица частот: значениям 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 соответствуют частоты \(0{,}1\); \(0{,}25\); \(0{,}3\); \(0{,}15\); \(0{,}1\); \(0{,}05\); \(0\); \(0{,}05\).
Пусть \(X\) — число опечаток на странице. Выборка объёма \(N = 20\) — числа опечаток на 20 страницах, напечатанных стенографисткой: 1, 3, 2, 5, 0, 2, 1, 2, 1, 7, 3, 2, 1, 2, 0, 2, 3, 4, 4, 1. По ней нужно найти выборочное среднее, выборочную дисперсию и стандартное отклонение, составить таблицу частот и построить полигон частот.
Значения выборки — от 0 до 7. Для каждого значения подсчитаем число страниц с таким числом опечаток и разделим его на 20 — получим частоту; значение 6 в выборке не встретилось, его частота равна 0.
\[\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c|c|c} \text{Число опечаток} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline \text{Число страниц} & 2 & 5 & 6 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ \hline \text{Частота} & 0{,}1 & 0{,}25 & 0{,}3 & 0{,}15 & 0{,}1 & 0{,}05 & 0 & 0{,}05 \end{array}\]
Построим полигон частот: по горизонтальной оси — число опечаток, по вертикальной — частота; точки соединяем ломаной.
По таблице частот найдём выборочное среднее \(\overline{X}\) и среднее арифметическое квадратов \(\overline{X^2}\), затем выборочную дисперсию \(S^2 = \overline{X^2} - \overline{X}^2\) и стандартное отклонение \(S = \sqrt{S^2}\):
\[\begin{aligned} \overline{X} &= \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 1 + 7 \cdot 1}{20} = \frac{46}{20} = 2{,}3; \\ \overline{X^2} &= \frac{1^2 \cdot 5 + 2^2 \cdot 6 + 3^2 \cdot 3 + 4^2 \cdot 2 + 5^2 \cdot 1 + 7^2 \cdot 1}{20} = \frac{162}{20} = 8{,}1; \\ S^2 &= \overline{X^2} - \overline{X}^2 = 8{,}1 - 2{,}3^2 = 2{,}81; \\ S &= \sqrt{2{,}81} \approx 1{,}676. \end{aligned}\]
Ответ: среднее арифметическое числа опечаток на странице \(\overline{X} = 2{,}3\), выборочная дисперсия \(S^2 = 2{,}81\), стандартное отклонение \(S \approx 1{,}676\); таблица частот: значениям 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 соответствуют частоты \(0{,}1\); \(0{,}25\); \(0{,}3\); \(0{,}15\); \(0{,}1\); \(0{,}05\); \(0\); \(0{,}05\).
