Страница 13 номер 15, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
В продукции цеха детали отличного качества составляют 80%. В каких пределах с вероятностью 0,9 будет находиться число деталей отличного качества, если взять 1000 деталей?
\(X\) — число деталей отличного качества среди 1000 взятых; каждая деталь независимо от остальных оказывается отличного качества с вероятностью \(p = 0{,}8\) (допущение модели). \(X\) — число успехов в \(N = 1000\) испытаниях Бернулли, \(q = 0{,}2\), и по формулам \(E(X) = Np\), \(D(X) = Npq\)
\[\begin{aligned} E(X) &= 1000 \cdot 0{,}8 = 800; \\ D(X) &= 1000 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 160. \end{aligned}\]
Ищем такое \(\delta > 0\), чтобы \(X\) отличалось от 800 меньше чем на \(\delta\) с вероятностью не меньше \(0{,}9\). По неравенству Чебышёва \(P(|X - 800| < \delta) \geqslant 1 - \frac{160}{\delta^2}\); эта граница не меньше \(0{,}9\), когда (число \(\delta^2\) положительно)
\[\begin{aligned} 1 - \frac{160}{\delta^2} &\geqslant 0{,}9; \\ \frac{160}{\delta^2} &\leqslant 0{,}1; \qquad | \cdot \delta^2 \\ 160 &\leqslant 0{,}1\delta^2; \qquad | : 0{,}1 \\ 1600 &\leqslant \delta^2. \end{aligned}\]
Так как \(\delta > 0\), отсюда \(\delta \geqslant 40\). Чем меньше \(\delta\), тем теснее пределы, поэтому берём \(\delta = 40\): \(P(|X - 800| < 40) \geqslant 1 - \frac{160}{40^2} = 1 - 0{,}1 = 0{,}9\); неравенство \(|X - 800| < 40\) означает, что \(760 < X < 840\).
Ответ: с вероятностью не меньше \(0{,}9\) число деталей отличного качества среди 1000 будет в пределах от 760 до 840: \(P(760 < X < 840) \geqslant 0{,}9\).
В продукции цеха детали отличного качества составляют 80%. В каких пределах с вероятностью 0,9 будет находиться число деталей отличного качества, если взять 1000 деталей?
Пусть \(X\) — число деталей отличного качества среди 1000 взятых. Будем считать, что каждая деталь независимо от остальных оказывается отличного качества с вероятностью \(p = 0{,}8\) (допущение модели). Тогда \(X\) — число успехов в \(N = 1000\) испытаниях Бернулли, \(q = 0{,}2\), и по формулам \(E(X) = Np\), \(D(X) = Npq\)
\[\begin{aligned} E(X) &= 1000 \cdot 0{,}8 = 800; \\ D(X) &= 1000 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 160. \end{aligned}\]
Найдём такое \(\delta > 0\), чтобы \(X\) отличалось от 800 меньше чем на \(\delta\) с вероятностью не меньше \(0{,}9\). По неравенству Чебышёва \(P(|X - 800| < \delta) \geqslant 1 - \frac{160}{\delta^2}\); эта граница не меньше \(0{,}9\), когда (число \(\delta^2\) положительно)
\[\begin{aligned} 1 - \frac{160}{\delta^2} &\geqslant 0{,}9; \\ \frac{160}{\delta^2} &\leqslant 0{,}1; \qquad | \cdot \delta^2 \\ 160 &\leqslant 0{,}1\delta^2; \qquad | : 0{,}1 \\ 1600 &\leqslant \delta^2. \end{aligned}\]
Так как \(\delta > 0\), отсюда \(\delta \geqslant 40\). Чем меньше \(\delta\), тем теснее пределы, поэтому возьмём \(\delta = 40\): \(P(|X - 800| < 40) \geqslant 1 - \frac{160}{40^2} = 1 - 0{,}1 = 0{,}9\). Неравенство \(|X - 800| < 40\) означает, что \(760 < X < 840\).
Ответ: с вероятностью не меньше \(0{,}9\) число деталей отличного качества среди 1000 будет в пределах от 760 до 840: \(P(760 < X < 840) \geqslant 0{,}9\).
