Лабораторная работа № 1 на странице 16, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича вероятность и статистика
Задание 1. Приближение частоты успехов к вероятности.
В электронной таблице моделируем серию из 500 испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\) и после каждого испытания находим частоту успехов. Формулы годятся для любой серии; числа и график — для одной такой серии (после нажатия клавиши F9 серия будет другой).
В ячейку F1 вписываем вероятность успеха \(p = 0{,}5\). Ячейки A1:A500 заполняем номерами опытов \(N\) от 1 до 500: вписываем 1 и 2 в ячейки A1 и A2 и протягиваем их вниз до A500.
В ячейку B1 вписываем =СЛЧИС() и копируем вниз до B500: функция выдаёт случайное число из промежутка \((0;\ 1)\), причём меньше заданного числа \(p\) из этого промежутка оно оказывается с вероятностью \(p\); числа в разных строках не зависят друг от друга.
В ячейку C1 вписываем =ЕСЛИ(B1<$F$1;1;0) и копируем вниз до C500: в строке появляется 1 (успех), если её случайное число меньше \(p\), и 0 (неудача) в противном случае. Успех в каждой строке наступает с вероятностью \(p\), строки независимы, поэтому столбец C — серия из 500 испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\). Адрес B1 относительный: при копировании он меняется на B2, B3, …, и каждая строка берёт своё случайное число. Адрес $F$1 абсолютный: при копировании он не меняется, и все строки сравнивают своё число с одним и тем же \(p\), а относительный адрес F1 в строке 2 превратился бы в F2 — пустую ячейку.
В ячейку D1 вписываем =СЧЁТЕСЛИ($C$1:C1;1) и копируем вниз до D500: начало диапазона $C$1 закреплено, а конец C1 при копировании сдвигается — в ячейке D10 получится =СЧЁТЕСЛИ($C$1:C10;1). Значит, в строке \(N\) столбец D содержит число успехов \(X\) в первых \(N\) испытаниях.
В ячейку E1 вписываем =D1/A1 и копируем вниз до E500: в строке \(N\) — частота успеха \(Y = \frac{X}{N}\) после \(N\) испытаний.
Первые 10 строк листа в этой серии (случайные числа и частоты округлены до тысячных):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{A} & \text{B} & \text{C} & \text{D} & \text{E} \\ \hline 1 & 0{,}323 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 2 & 0{,}664 & 0 & 1 & 0{,}5 \\ \hline 3 & 0{,}509 & 0 & 1 & 0{,}333 \\ \hline 4 & 0{,}016 & 1 & 2 & 0{,}5 \\ \hline 5 & 0{,}032 & 1 & 3 & 0{,}6 \\ \hline 6 & 0{,}294 & 1 & 4 & 0{,}667 \\ \hline 7 & 0{,}050 & 1 & 5 & 0{,}714 \\ \hline 8 & 0{,}254 & 1 & 6 & 0{,}75 \\ \hline 9 & 0{,}978 & 0 & 6 & 0{,}667 \\ \hline 10 & 0{,}236 & 1 & 7 & 0{,}7 \\ \hline \end{array}\]
По столбцу E строим график изменения частоты с ростом числа опытов; горизонтальная штриховая линия — уровень \(p = 0{,}5\).
В этой серии частота после 10 опытов равна \(\frac{7}{10} = 0{,}7\), после 50 — \(\frac{21}{50} = 0{,}42\), после 100 — \(\frac{48}{100} = 0{,}48\), после 300 — \(\frac{156}{300} = 0{,}52\), после 500 — \(\frac{246}{500} = 0{,}492\); начиная со 110-го опыта она отличалась от \(0{,}5\) меньше чем на \(0{,}05\).
Нажимая F9, получаем новые серии. Графики каждый раз другие, но ведут себя одинаково: в первых опытах частота сильно скачет, а с ростом числа опытов колебания затухают и ломаная прижимается к уровню \(p\). Это предсказывает теорема Бернулли; например, при \(N = 500\) для частоты \(Y\)
\[P(|Y - 0{,}5| < 0{,}1) \geqslant 1 - \frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{500 \cdot 0{,}1^2} = 1 - \frac{0{,}25}{5} = 0{,}95.\]
Значит, в любой серии после 500 опытов частота лежит в промежутке \((0{,}4;\ 0{,}6)\) с вероятностью не меньше \(0{,}95\); в этой серии она равна \(0{,}492\). При этом частота не обязана приближаться к \(p\) с каждым новым опытом: в этой серии после 150 опытов она равна \(\frac{75}{150} = 0{,}5\), а после 300 — \(0{,}52\).
Для другой вероятности вписываем в F1 число \(0{,}2\). В одной такой серии частота после 10 опытов равна \(\frac{2}{10} = 0{,}2\), после 50 — \(\frac{12}{50} = 0{,}24\), после 100 — \(\frac{22}{100} = 0{,}22\), после 500 — \(\frac{103}{500} = 0{,}206\); начиная с 64-го опыта она отличалась от \(0{,}2\) меньше чем на \(0{,}05\). Частота и здесь приближается к вероятности; по теореме Бернулли при \(N = 500\)
\[P(|Y - 0{,}2| < 0{,}05) \geqslant 1 - \frac{0{,}2 \cdot 0{,}8}{500 \cdot 0{,}05^2} = 1 - \frac{0{,}16}{1{,}25} = 0{,}872.\]
Задание 2. Приближение среднего арифметического к математическому ожиданию.
Моделируем серию из 500 бросков двух кубиков: в каждом броске находим сумму очков \(S\), после каждого броска — среднее арифметическое полученных сумм. Лист устроен так же, как в задании 1; числа и график — для одной такой серии.
Ячейки A1:A500 заполняем номерами опытов от 1 до 500. В ячейки B1 и C1 вписываем =СЛУЧМЕЖДУ(1;6) и копируем их вниз до B500 и C500: функция выдаёт случайное целое число от 1 до 6, все шесть значений равновозможны, — это очки на первом и на втором кубике; числа в разных ячейках не зависят друг от друга, как броски двух кубиков.
В ячейку D1 вписываем =B1+C1 и копируем вниз до D500: столбец D — сумма очков \(S\) в каждом броске. Одной формулой =СЛУЧМЕЖДУ(2;12) сумму моделировать нельзя: она выдаёт равновозможные числа от 2 до 12, а суммы очков двух кубиков не равновозможны — сумма 7 получается в 6 исходах из 36, а сумма 2 — только в одном.
В ячейку E1 вписываем =СРЗНАЧ($D$1:D1) и копируем вниз до E500: начало диапазона $D$1 закреплено, а конец сдвигается, поэтому в строке \(N\) стоит среднее арифметическое \(\overline{S}\) сумм первых \(N\) бросков.
Первые 10 строк листа в этой серии (средние округлены до тысячных):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{A} & \text{B} & \text{C} & \text{D} & \text{E} \\ \hline 1 & 6 & 5 & 11 & 11 \\ \hline 2 & 2 & 1 & 3 & 7 \\ \hline 3 & 1 & 5 & 6 & 6{,}667 \\ \hline 4 & 5 & 2 & 7 & 6{,}75 \\ \hline 5 & 3 & 6 & 9 & 7{,}2 \\ \hline 6 & 2 & 5 & 7 & 7{,}167 \\ \hline 7 & 3 & 2 & 5 & 6{,}857 \\ \hline 8 & 4 & 6 & 10 & 7{,}25 \\ \hline 9 & 2 & 3 & 5 & 7 \\ \hline 10 & 6 & 4 & 10 & 7{,}3 \\ \hline \end{array}\]
\(X\) — число очков на одном кубике: оно принимает значения от 1 до 6 с вероятностями \(\frac{1}{6}\), поэтому \(E(X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3{,}5\) и \(D(X) = E(X^2) - E^2(X) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} - 3{,}5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}\). Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, а дисперсия суммы очков двух независимых кубиков — сумме дисперсий:
\[\begin{aligned} E(S) &= 3{,}5 + 3{,}5 = 7; \\ D(S) &= \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}. \end{aligned}\]
По столбцу E строим график изменения среднего арифметического с ростом числа бросков; горизонтальная штриховая линия — уровень \(E(S) = 7\).
В этой серии среднее после 10 бросков равно \(\frac{73}{10} = 7{,}3\), после 30 — \(\frac{189}{30} = 6{,}3\), после 100 — \(\frac{696}{100} = 6{,}96\), после 500 — \(\frac{3519}{500} = 7{,}038\); начиная с 60-го броска оно отличалось от 7 меньше чем на \(0{,}2\). Как и частота в задании 1, в начале серии среднее сильно колеблется, а с ростом числа бросков колебания затухают и ломаная прижимается к уровню 7. Это предсказывает теорема Чебышёва; например, при \(N = 500\)
\[P(|\overline{S} - 7| < 0{,}5) \geqslant 1 - \frac{35}{6 \cdot 500 \cdot 0{,}5^2} = 1 - \frac{35}{750} = \frac{143}{150}.\]
Значит, в любой серии после 500 бросков среднее арифметическое лежит в промежутке \((6{,}5;\ 7{,}5)\) с вероятностью не меньше \(\frac{143}{150}\), т. е. больше \(0{,}95\).
Ответ: задание 1 — с ростом числа опытов частота успеха приближается к вероятности \(p\) (и при \(p = 0{,}5\), и при \(p = 0{,}2\)) в смысле теоремы Бернулли: с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, при достаточно большом числе опытов она как угодно мало отличается от \(p\), а её колебания затухают; после 500 опытов \(P(|Y - 0{,}5| < 0{,}1) \geqslant 0{,}95\); задание 2 — среднее арифметическое суммы очков \(S\) двух кубиков с ростом числа бросков приближается к \(E(S) = 7\) (теорема Чебышёва); после 500 бросков \(P(|\overline{S} - 7| < 0{,}5) \geqslant \frac{143}{150}\).
Задание 1. Приближение частоты успехов к вероятности.
Смоделируем в электронной таблице серию из 500 испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\) и после каждого испытания найдём частоту успехов. Формулы годятся для любой серии; числа и график приведём для одной такой серии — после нажатия клавиши F9 серия будет другой.
В ячейку F1 вписываем вероятность успеха \(p = 0{,}5\). Ячейки A1:A500 заполняем номерами опытов \(N\) от 1 до 500: вписываем 1 и 2 в ячейки A1 и A2 и протягиваем их вниз до A500.
В ячейку B1 вписываем =СЛЧИС() и копируем вниз до B500. Функция выдаёт случайное число из промежутка \((0;\ 1)\), причём меньше заданного числа \(p\) из этого промежутка оно оказывается с вероятностью \(p\); числа в разных строках не зависят друг от друга.
В ячейку C1 вписываем =ЕСЛИ(B1<$F$1;1;0) и копируем вниз до C500: в строке появляется 1 (успех), если её случайное число меньше \(p\), и 0 (неудача) в противном случае. Успех в каждой строке наступает с вероятностью \(p\), и строки независимы, поэтому столбец C — серия из 500 испытаний Бернулли с вероятностью успеха \(p\). Адрес B1 относительный: при копировании он меняется на B2, B3, …, и каждая строка берёт своё случайное число. Адрес $F$1 абсолютный: при копировании он не меняется, и все строки сравнивают своё число с одним и тем же \(p\), а относительный адрес F1 в строке 2 превратился бы в F2 — пустую ячейку.
В ячейку D1 вписываем =СЧЁТЕСЛИ($C$1:C1;1) и копируем вниз до D500. Функция считает единицы в диапазоне от C1 до своей строки: начало диапазона $C$1 закреплено, а конец C1 относительный и при копировании сдвигается — в ячейке D10, например, получится =СЧЁТЕСЛИ($C$1:C10;1). Значит, в строке \(N\) столбец D содержит число успехов \(X\) в первых \(N\) испытаниях.
В ячейку E1 вписываем =D1/A1 и копируем вниз до E500: в строке \(N\) получается частота успеха \(Y = \frac{X}{N}\) после \(N\) испытаний.
Первые 10 строк листа в этой серии (случайные числа и частоты округлены до тысячных):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{A} & \text{B} & \text{C} & \text{D} & \text{E} \\ \hline 1 & 0{,}323 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 2 & 0{,}664 & 0 & 1 & 0{,}5 \\ \hline 3 & 0{,}509 & 0 & 1 & 0{,}333 \\ \hline 4 & 0{,}016 & 1 & 2 & 0{,}5 \\ \hline 5 & 0{,}032 & 1 & 3 & 0{,}6 \\ \hline 6 & 0{,}294 & 1 & 4 & 0{,}667 \\ \hline 7 & 0{,}050 & 1 & 5 & 0{,}714 \\ \hline 8 & 0{,}254 & 1 & 6 & 0{,}75 \\ \hline 9 & 0{,}978 & 0 & 6 & 0{,}667 \\ \hline 10 & 0{,}236 & 1 & 7 & 0{,}7 \\ \hline \end{array}\]
По столбцу E строим график изменения частоты с ростом числа опытов; горизонтальная штриховая линия — уровень \(p = 0{,}5\).
В этой серии частота после 10 опытов равна \(\frac{7}{10} = 0{,}7\), после 50 — \(\frac{21}{50} = 0{,}42\), после 100 — \(\frac{48}{100} = 0{,}48\), после 300 — \(\frac{156}{300} = 0{,}52\), после 500 — \(\frac{246}{500} = 0{,}492\); начиная со 110-го опыта она отличалась от \(0{,}5\) меньше чем на \(0{,}05\).
Нажимая F9, получаем новые серии. Графики каждый раз другие, но ведут себя одинаково: в первых опытах частота сильно скачет, а с ростом числа опытов колебания затухают и ломаная прижимается к уровню \(p\). Это предсказывает теорема Бернулли: с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, при достаточно большом числе независимых опытов частота как угодно мало отличается от вероятности, а отклонение убывает примерно обратно пропорционально \(\sqrt{N}\). Например, при \(N = 500\) для частоты \(Y\)
\[P(|Y - 0{,}5| < 0{,}1) \geqslant 1 - \frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{500 \cdot 0{,}1^2} = 1 - \frac{0{,}25}{5} = 0{,}95.\]
Значит, в любой серии после 500 опытов частота лежит в промежутке \((0{,}4;\ 0{,}6)\) с вероятностью не меньше \(0{,}95\); в этой серии она равна \(0{,}492\). При этом частота не обязана приближаться к \(p\) с каждым новым опытом: в этой серии после 150 опытов она равна \(\frac{75}{150} = 0{,}5\), а после 300 — \(0{,}52\).
Проверим предположение для другой вероятности: впишем в F1 число \(0{,}2\). Покажем одну такую серию: частота после 10 опытов равна \(\frac{2}{10} = 0{,}2\), после 50 — \(\frac{12}{50} = 0{,}24\), после 100 — \(\frac{22}{100} = 0{,}22\), после 500 — \(\frac{103}{500} = 0{,}206\); начиная с 64-го опыта она отличалась от \(0{,}2\) меньше чем на \(0{,}05\). Частота и здесь приближается к вероятности; по теореме Бернулли при \(N = 500\)
\[P(|Y - 0{,}2| < 0{,}05) \geqslant 1 - \frac{0{,}2 \cdot 0{,}8}{500 \cdot 0{,}05^2} = 1 - \frac{0{,}16}{1{,}25} = 0{,}872.\]
Задание 2. Приближение среднего арифметического к математическому ожиданию.
Смоделируем серию из 500 бросков двух кубиков, найдём в каждом броске сумму очков \(S\) и после каждого броска — среднее арифметическое полученных сумм. Лист устроим так же, как в задании 1; числа и график приведём для одной такой серии.
Ячейки A1:A500 заполняем номерами опытов от 1 до 500. В ячейки B1 и C1 вписываем =СЛУЧМЕЖДУ(1;6) и копируем их вниз до B500 и C500. Функция выдаёт случайное целое число от 1 до 6, все шесть значений равновозможны, — это очки на первом и на втором кубике; числа в разных ячейках не зависят друг от друга, как броски двух кубиков.
В ячейку D1 вписываем =B1+C1 и копируем вниз до D500: столбец D — сумма очков \(S\) в каждом броске. Одной формулой =СЛУЧМЕЖДУ(2;12) сумму моделировать нельзя: она выдаёт равновозможные числа от 2 до 12, а суммы очков двух кубиков не равновозможны — сумма 7 получается в 6 исходах из 36, а сумма 2 — только в одном.
В ячейку E1 вписываем =СРЗНАЧ($D$1:D1) и копируем вниз до E500: начало диапазона $D$1 закреплено, а конец сдвигается, поэтому в строке \(N\) стоит среднее арифметическое \(\overline{S}\) сумм первых \(N\) бросков.
Первые 10 строк листа в этой серии (средние округлены до тысячных):
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{A} & \text{B} & \text{C} & \text{D} & \text{E} \\ \hline 1 & 6 & 5 & 11 & 11 \\ \hline 2 & 2 & 1 & 3 & 7 \\ \hline 3 & 1 & 5 & 6 & 6{,}667 \\ \hline 4 & 5 & 2 & 7 & 6{,}75 \\ \hline 5 & 3 & 6 & 9 & 7{,}2 \\ \hline 6 & 2 & 5 & 7 & 7{,}167 \\ \hline 7 & 3 & 2 & 5 & 6{,}857 \\ \hline 8 & 4 & 6 & 10 & 7{,}25 \\ \hline 9 & 2 & 3 & 5 & 7 \\ \hline 10 & 6 & 4 & 10 & 7{,}3 \\ \hline \end{array}\]
Пусть \(X\) — число очков на одном кубике: оно принимает значения от 1 до 6 с вероятностями \(\frac{1}{6}\), поэтому \(E(X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3{,}5\) и \(D(X) = E(X^2) - E^2(X) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} - 3{,}5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}\). Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, а дисперсия суммы очков двух независимых кубиков — сумме дисперсий:
\[\begin{aligned} E(S) &= 3{,}5 + 3{,}5 = 7; \\ D(S) &= \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}. \end{aligned}\]
По столбцу E строим график изменения среднего арифметического с ростом числа бросков; горизонтальная штриховая линия — уровень \(E(S) = 7\).
В этой серии среднее после 10 бросков равно \(\frac{73}{10} = 7{,}3\), после 30 — \(\frac{189}{30} = 6{,}3\), после 100 — \(\frac{696}{100} = 6{,}96\), после 500 — \(\frac{3519}{500} = 7{,}038\); начиная с 60-го броска оно отличалось от 7 меньше чем на \(0{,}2\). Как и частота в задании 1, в начале серии среднее сильно колеблется, а с ростом числа бросков колебания затухают и ломаная прижимается к уровню 7. Это предсказывает теорема Чебышёва: с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, при достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое как угодно мало отличается от математического ожидания. Например, при \(N = 500\)
\[P(|\overline{S} - 7| < 0{,}5) \geqslant 1 - \frac{35}{6 \cdot 500 \cdot 0{,}5^2} = 1 - \frac{35}{750} = \frac{143}{150}.\]
Значит, в любой серии после 500 бросков среднее арифметическое лежит в промежутке \((6{,}5;\ 7{,}5)\) с вероятностью не меньше \(\frac{143}{150}\), т. е. больше \(0{,}95\).
Ответ: задание 1 — с ростом числа опытов частота успеха приближается к вероятности \(p\) (и при \(p = 0{,}5\), и при \(p = 0{,}2\)) в смысле теоремы Бернулли: с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, при достаточно большом числе опытов она как угодно мало отличается от \(p\), а её колебания затухают; после 500 опытов \(P(|Y - 0{,}5| < 0{,}1) \geqslant 0{,}95\); задание 2 — среднее арифметическое суммы очков \(S\) двух кубиков с ростом числа бросков приближается к \(E(S) = 7\) (теорема Чебышёва); после 500 бросков \(P(|\overline{S} - 7| < 0{,}5) \geqslant \frac{143}{150}\).
