Страница 12 номер 13, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
По статистическим данным, в среднем 87% людей доживают до 50 лет. С помощью неравенства Чебышёва оцените вероятность того, что из 1000 новорождённых не менее 800 доживут до 50 лет.
\(X\) — число тех из 1000 новорождённых, кто доживёт до 50 лет; каждый новорождённый доживает до 50 лет независимо от остальных с вероятностью \(p = 0{,}87\) (допущение модели). \(X\) — число успехов в \(N = 1000\) испытаниях Бернулли, \(q = 0{,}13\), и по формулам \(E(X) = Np\), \(D(X) = Npq\)
\[\begin{aligned} E(X) &= 1000 \cdot 0{,}87 = 870; \\ D(X) &= 1000 \cdot 0{,}87 \cdot 0{,}13 = 113{,}1. \end{aligned}\]
Если \(|X - 870| < 70\), то \(800 < X < 940\) и тем более \(X \geqslant 800\): событие \(|X - 870| < 70\) входит в событие \(X \geqslant 800\), поэтому вероятность последнего не меньше. По неравенству Чебышёва \(P(|X - 870| \geqslant 70) \leqslant \frac{D(X)}{70^2}\), а для противоположного события \(P(|X - 870| < 70) \geqslant 1 - \frac{D(X)}{70^2}\). Дробь \(\frac{113{,}1}{4900}\) округляем до четырёх знаков после запятой в большую сторону, граница — в меньшую:
\[\begin{aligned} &P(X \geqslant 800) \geqslant P(|X - 870| < 70) \geqslant 1 - \frac{113{,}1}{70^2} = {} \\ &= 1 - \frac{113{,}1}{4900} > 1 - 0{,}0231 = 0{,}9769. \end{aligned}\]
Ответ: вероятность того, что из 1000 новорождённых не менее 800 доживут до 50 лет, не меньше \(0{,}9769\).
По статистическим данным, в среднем 87% людей доживают до 50 лет. С помощью неравенства Чебышёва оцените вероятность того, что из 1000 новорождённых не менее 800 доживут до 50 лет.
Пусть \(X\) — число тех из 1000 новорождённых, кто доживёт до 50 лет. Будем считать, что каждый новорождённый независимо от остальных доживает до 50 лет с вероятностью \(p = 0{,}87\) (допущение модели). Тогда \(X\) — число успехов в \(N = 1000\) испытаниях Бернулли, \(q = 0{,}13\), и по формулам \(E(X) = Np\), \(D(X) = Npq\)
\[\begin{aligned} E(X) &= 1000 \cdot 0{,}87 = 870; \\ D(X) &= 1000 \cdot 0{,}87 \cdot 0{,}13 = 113{,}1. \end{aligned}\]
Если \(|X - 870| < 70\), то \(800 < X < 940\) и тем более \(X \geqslant 800\): событие \(|X - 870| < 70\) входит в событие \(X \geqslant 800\), поэтому вероятность последнего не меньше. По неравенству Чебышёва \(P(|X - 870| \geqslant 70) \leqslant \frac{D(X)}{70^2}\), а для противоположного события \(P(|X - 870| < 70) \geqslant 1 - \frac{D(X)}{70^2}\). Дробь \(\frac{113{,}1}{4900}\) округлим до четырёх знаков после запятой в большую сторону — тогда граница округлится в меньшую:
\[\begin{aligned} &P(X \geqslant 800) \geqslant P(|X - 870| < 70) \geqslant 1 - \frac{113{,}1}{70^2} = {} \\ &= 1 - \frac{113{,}1}{4900} > 1 - 0{,}0231 = 0{,}9769. \end{aligned}\]
Ответ: вероятность того, что из 1000 новорождённых не менее 800 доживут до 50 лет, не меньше \(0{,}9769\).
