Вопросы к пункту 2 «Теорема Чебышёва» на странице 12, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича вероятность и статистика
Вопросы к пункту 2 «Теорема Чебышёва».
\(\overline{X} = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_N}{N}\); множитель \(\frac{1}{N}\) выносится за знак математического ожидания, а математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий:
\[\begin{aligned} &E(\overline{X}) = \frac{1}{N}(E(X_1) + E(X_2) + \ldots + E(X_N)) = {} \\ &= \frac{1}{N}(a + a + \ldots + a) = \frac{Na}{N} = a. \end{aligned}\]
Независимость величин здесь не нужна.
Ответ: \(E(\overline{X}) = a\).
Постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате, \(D(cX) = c^2D(X)\), а дисперсия суммы независимых величин равна сумме их дисперсий:
\[\begin{aligned} &D(\overline{X}) = \frac{1}{N^2}(D(X_1) + D(X_2) + \ldots + D(X_N)) = {} \\ &= \frac{1}{N^2}(d + d + \ldots + d) = \frac{Nd}{N^2} = \frac{d}{N}. \end{aligned}\]
Независимость здесь существенна: если все величины совпадают, \(X_1 = X_2 = \ldots = X_N\), то \(\overline{X} = X_1\) и \(D(\overline{X}) = d\), а не \(\frac{d}{N}\).
Ответ: \(D(\overline{X}) = \frac{d}{N}\).
Это теорема Чебышёва. Точнее, пусть \(X_1, X_2, \ldots, X_N\) — значения случайной величины с математическим ожиданием \(a\) и дисперсией \(d\) в \(N\) независимых опытах. Тогда \(E(\overline{X}) = a\), \(D(\overline{X}) = \frac{d}{N}\), и по неравенству Чебышёва для любого \(\delta > 0\)
\[P(|\overline{X} - a| < \delta) \geqslant 1 - \frac{d}{N\delta^2}.\]
С ростом \(N\) правая часть приближается к 1, а число \(\delta\) можно взять сколь угодно малым. Например, для числа очков на кубике \(a = 3{,}5\), \(d = \frac{35}{12}\), и после 3000 бросков \(P(|\overline{X} - 3{,}5| < 0{,}1) \geqslant 1 - \frac{35}{12 \cdot 3000 \cdot 0{,}1^2} = 1 - \frac{7}{72} = \frac{65}{72}\): среднее число очков отличается от \(3{,}5\) меньше чем на \(0{,}1\) с вероятностью не меньше \(\frac{65}{72}\), т. е. больше \(0{,}9\).
Ответ: с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, можно утверждать, что при достаточно большом числе независимых опытов \(N\) среднее арифметическое полученных значений случайной величины будет как угодно мало отличаться от её математического ожидания \(a\); оценка: \(P(|\overline{X} - a| < \delta) \geqslant 1 - \frac{d}{N\delta^2}\) для любого \(\delta > 0\).
Вопросы к пункту 2 «Теорема Чебышёва».
Среднее арифметическое \(\overline{X} = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_N}{N}\). Постоянный множитель \(\frac{1}{N}\) выносится за знак математического ожидания, а математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий:
\[\begin{aligned} &E(\overline{X}) = \frac{1}{N}(E(X_1) + E(X_2) + \ldots + E(X_N)) = {} \\ &= \frac{1}{N}(a + a + \ldots + a) = \frac{Na}{N} = a. \end{aligned}\]
Независимость величин здесь не нужна. Например, если \(X_1, X_2, \ldots, X_N\) — числа очков в \(N\) бросках кубика, то \(a = 3{,}5\) и \(E(\overline{X}) = 3{,}5\) при любом \(N\).
Ответ: \(E(\overline{X}) = a\).
Постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате, \(D(cX) = c^2D(X)\), а дисперсия суммы независимых величин равна сумме их дисперсий:
\[\begin{aligned} &D(\overline{X}) = \frac{1}{N^2}(D(X_1) + D(X_2) + \ldots + D(X_N)) = {} \\ &= \frac{1}{N^2}(d + d + \ldots + d) = \frac{Nd}{N^2} = \frac{d}{N}. \end{aligned}\]
Здесь существенна независимость: без неё дисперсия суммы может не равняться сумме дисперсий. Так, если все величины совпадают, \(X_1 = X_2 = \ldots = X_N\), то \(\overline{X} = X_1\) и \(D(\overline{X}) = d\), а не \(\frac{d}{N}\). Для независимых величин дисперсия среднего арифметического в \(N\) раз меньше дисперсии каждой из них и с ростом \(N\) стремится к нулю. Например, у числа очков на кубике \(d = \frac{35}{12}\), и для среднего арифметического 100 бросков \(D(\overline{X}) = \frac{35}{12 \cdot 100} = \frac{7}{240} \approx 0{,}029\).
Ответ: \(D(\overline{X}) = \frac{d}{N}\).
Теорема Чебышёва (закон больших чисел): с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, можно утверждать, что при достаточно большом числе независимых опытов \(N\) среднее арифметическое полученных значений случайной величины будет как угодно мало отличаться от её математического ожидания.
Точнее, пусть \(X_1, X_2, \ldots, X_N\) — значения случайной величины с математическим ожиданием \(a\) и дисперсией \(d\) в \(N\) независимых опытах. Тогда \(E(\overline{X}) = a\), \(D(\overline{X}) = \frac{d}{N}\), и по неравенству Чебышёва для любого \(\delta > 0\)
\[P(|\overline{X} - a| < \delta) \geqslant 1 - \frac{d}{N\delta^2}.\]
С ростом \(N\) правая часть приближается к 1, а число \(\delta\) можно взять сколь угодно малым. Например, для числа очков на кубике \(a = 3{,}5\), \(d = \frac{35}{12}\), и после 3000 бросков \(P(|\overline{X} - 3{,}5| < 0{,}1) \geqslant 1 - \frac{35}{12 \cdot 3000 \cdot 0{,}1^2} = 1 - \frac{7}{72} = \frac{65}{72}\): среднее число очков отличается от \(3{,}5\) меньше чем на \(0{,}1\) с вероятностью не меньше \(\frac{65}{72}\), т. е. больше \(0{,}9\).
Ответ: с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, можно утверждать, что при достаточно большом числе независимых опытов \(N\) среднее арифметическое полученных значений случайной величины будет как угодно мало отличаться от её математического ожидания \(a\); оценка: \(P(|\overline{X} - a| < \delta) \geqslant 1 - \frac{d}{N\delta^2}\) для любого \(\delta > 0\).
