Страница 13 номер 16, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два разных входа с гардеробом у каждого входа. Сколько мест должно быть в каждом из них, чтобы в среднем в 9 случаях из 10 все зрители могли раздеться в своём гардеробе?
Допущения модели: зал заполнен — пришли 1000 зрителей, и каждый зритель независимо от остальных входит через любой из двух входов с вероятностью \(\frac{1}{2}\). \(X\) — число зрителей, вошедших через первый вход; через второй вошли \(1000 - X\); \(X\) — число успехов в \(N = 1000\) испытаниях Бернулли с вероятностью успеха \(\frac{1}{2}\):
\[\begin{aligned} E(X) &= 1000 \cdot \frac{1}{2} = 500; \\ D(X) &= 1000 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 250. \end{aligned}\]
\(M\) — число мест в каждом гардеробе. Все зрители разденутся в своём гардеробе, когда \(X \leqslant M\) и \(1000 - X \leqslant M\), т. е. \(1000 - M \leqslant X \leqslant M\), или \(|X - 500| \leqslant M - 500\); «в среднем в 9 случаях из 10» означает, что вероятность этого события должна быть не меньше \(0{,}9\).
Обозначим \(\delta = M - 500\); оценка по неравенству Чебышёва требует \(\delta > 0\). Событие \(|X - 500| < \delta\) входит в событие \(|X - 500| \leqslant \delta\), поэтому
\[P(|X - 500| \leqslant \delta) \geqslant P(|X - 500| < \delta) \geqslant 1 - \frac{250}{\delta^2}.\]
Граница не меньше \(0{,}9\), когда (число \(\delta^2\) положительно)
\[\begin{aligned} 1 - \frac{250}{\delta^2} &\geqslant 0{,}9; \\ \frac{250}{\delta^2} &\leqslant 0{,}1; \qquad | \cdot \delta^2 \\ 250 &\leqslant 0{,}1\delta^2; \qquad | : 0{,}1 \\ 2500 &\leqslant \delta^2. \end{aligned}\]
Так как \(\delta > 0\), отсюда \(\delta \geqslant 50\), т. е. \(M - 500 \geqslant 50\) и \(M \geqslant 550\). При \(M = 550\) получаем \(P(450 \leqslant X \leqslant 550) \geqslant 1 - \frac{250}{50^2} = 0{,}9\).
Ответ: по 550 мест в каждом гардеробе.
Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два разных входа с гардеробом у каждого входа. Сколько мест должно быть в каждом из них, чтобы в среднем в 9 случаях из 10 все зрители могли раздеться в своём гардеробе?
Будем считать, что зал заполнен — пришли 1000 зрителей — и каждый зритель независимо от остальных входит через любой из двух входов с вероятностью \(\frac{1}{2}\) (допущения модели). Пусть \(X\) — число зрителей, вошедших через первый вход; тогда через второй вошли \(1000 - X\) зрителей. Величина \(X\) — число успехов в \(N = 1000\) испытаниях Бернулли с вероятностью успеха \(\frac{1}{2}\), поэтому
\[\begin{aligned} E(X) &= 1000 \cdot \frac{1}{2} = 500; \\ D(X) &= 1000 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 250. \end{aligned}\]
Пусть в каждом гардеробе \(M\) мест. Все зрители разденутся в своём гардеробе, когда \(X \leqslant M\) и \(1000 - X \leqslant M\), т. е. \(1000 - M \leqslant X \leqslant M\), или \(|X - 500| \leqslant M - 500\). «В среднем в 9 случаях из 10» означает, что вероятность этого события должна быть не меньше \(0{,}9\).
Обозначим \(\delta = M - 500\); оценка по неравенству Чебышёва требует \(\delta > 0\). Событие \(|X - 500| < \delta\) входит в событие \(|X - 500| \leqslant \delta\), поэтому
\[P(|X - 500| \leqslant \delta) \geqslant P(|X - 500| < \delta) \geqslant 1 - \frac{250}{\delta^2}.\]
Граница не меньше \(0{,}9\), когда (число \(\delta^2\) положительно)
\[\begin{aligned} 1 - \frac{250}{\delta^2} &\geqslant 0{,}9; \\ \frac{250}{\delta^2} &\leqslant 0{,}1; \qquad | \cdot \delta^2 \\ 250 &\leqslant 0{,}1\delta^2; \qquad | : 0{,}1 \\ 2500 &\leqslant \delta^2. \end{aligned}\]
Так как \(\delta > 0\), отсюда \(\delta \geqslant 50\), т. е. \(M - 500 \geqslant 50\) и \(M \geqslant 550\). При \(M = 550\) получаем \(P(450 \leqslant X \leqslant 550) \geqslant 1 - \frac{250}{50^2} = 0{,}9\).
Ответ: по 550 мест в каждом гардеробе.
