Страница 33 номер 20, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
\(X\) — месячный доход случайно выбранного жителя региона, тыс. р.; выборка объёма \(N = 1000\) сгруппирована по интервалам дохода. Верхняя граница последнего интервала \([60; +\infty)\) по условию — 70 000 р., т. е. 70 тыс. р.: последний интервал — \([60; 70)\).
Частота \(f_i\) — число жителей интервала, делённое на 1000; длина \(\Delta x_i\) каждого интервала — 10 тыс. р., поэтому высота столбика гистограммы \(\frac{f_i}{\Delta x_i}\) — частота, делённая на 10 (площадь столбика равна частоте интервала).
\[\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c|c} \text{Доход, тыс. р.} & [0; 10) & [10; 20) & [20; 30) & [30; 40) & [40; 50) & [50; 60) & [60; 70) \\ \hline \text{Число жителей} & 55 & 96 & 186 & 312 & 137 & 132 & 82 \\ \hline \text{Частота } f_i & 0{,}055 & 0{,}096 & 0{,}186 & 0{,}312 & 0{,}137 & 0{,}132 & 0{,}082 \\ \hline \text{Высота столбика} & 0{,}0055 & 0{,}0096 & 0{,}0186 & 0{,}0312 & 0{,}0137 & 0{,}0132 & 0{,}0082 \\ \hline \text{Середина} & 5 & 15 & 25 & 35 & 45 & 55 & 65 \end{array}\]
Исходной выборки нет — каждый интервал заменяем его серединой; выборочное среднее:
\[\begin{aligned} &\overline{X} = 5 \cdot 0{,}055 + 15 \cdot 0{,}096 + 25 \cdot 0{,}186 + 35 \cdot 0{,}312 + {} \\ &+ 45 \cdot 0{,}137 + 55 \cdot 0{,}132 + 65 \cdot 0{,}082 = 36{,}04. \end{aligned}\]
Среднее арифметическое квадратов \(\overline{X^2}\) — по квадратам середин:
\[\begin{aligned} &\overline{X^2} = 5^2 \cdot 0{,}055 + 15^2 \cdot 0{,}096 + 25^2 \cdot 0{,}186 + 35^2 \cdot 0{,}312 + {} \\ &+ 45^2 \cdot 0{,}137 + 55^2 \cdot 0{,}132 + 65^2 \cdot 0{,}082 = 1544{,}6. \end{aligned}\]
Выборочная дисперсия \(S^2\) (в квадратах тысяч рублей) и стандартное отклонение \(S\) (в тысячах рублей):
\[\begin{aligned} S^2 &= \overline{X^2} - \overline{X}^2 = 1544{,}6 - 36{,}04^2 = 245{,}7184; \\ S &= \sqrt{245{,}7184} \approx 15{,}675. \end{aligned}\]
Ответ: выборочное среднее месячного дохода \(\overline{X} = 36{,}04\) тыс. р., выборочная дисперсия \(S^2 = 245{,}7184\) (тыс. р.)², стандартное отклонение \(S \approx 15{,}675\) тыс. р.
Пусть \(X\) — месячный доход случайно выбранного жителя региона в тысячах рублей. Выборка объёма \(N = 1000\) сгруппирована по интервалам дохода: \([0; 10)\) — 55 жителей, \([10; 20)\) — 96, \([20; 30)\) — 186, \([30; 40)\) — 312, \([40; 50)\) — 137, \([50; 60)\) — 132, \([60; +\infty)\) — 82. Верхней границей последнего интервала по условию берём 70 000 р., т. е. 70 тыс. р.: последний интервал — \([60; 70)\). Нужно найти выборочное среднее, выборочную дисперсию и стандартное отклонение дохода и построить гистограмму частот.
Частота интервала — число жителей, делённое на 1000. Длина \(\Delta x_i\) каждого интервала — 10 тыс. р., поэтому высота столбика гистограммы \(\frac{f_i}{\Delta x_i}\) — частота, делённая на 10: тогда площадь каждого столбика равна частоте интервала, а площадь всей гистограммы — 1.
\[\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c|c} \text{Доход, тыс. р.} & [0; 10) & [10; 20) & [20; 30) & [30; 40) & [40; 50) & [50; 60) & [60; 70) \\ \hline \text{Число жителей} & 55 & 96 & 186 & 312 & 137 & 132 & 82 \\ \hline \text{Частота } f_i & 0{,}055 & 0{,}096 & 0{,}186 & 0{,}312 & 0{,}137 & 0{,}132 & 0{,}082 \\ \hline \text{Высота столбика} & 0{,}0055 & 0{,}0096 & 0{,}0186 & 0{,}0312 & 0{,}0137 & 0{,}0132 & 0{,}0082 \\ \hline \text{Середина} & 5 & 15 & 25 & 35 & 45 & 55 & 65 \end{array}\]
Построим гистограмму частот:
Исходной (несгруппированной) выборки нет, поэтому каждый интервал заменяем его серединой. Выборочное среднее:
\[\begin{aligned} &\overline{X} = 5 \cdot 0{,}055 + 15 \cdot 0{,}096 + 25 \cdot 0{,}186 + 35 \cdot 0{,}312 + {} \\ &+ 45 \cdot 0{,}137 + 55 \cdot 0{,}132 + 65 \cdot 0{,}082 = 36{,}04. \end{aligned}\]
Среднее арифметическое квадратов находим по квадратам середин:
\[\begin{aligned} &\overline{X^2} = 5^2 \cdot 0{,}055 + 15^2 \cdot 0{,}096 + 25^2 \cdot 0{,}186 + 35^2 \cdot 0{,}312 + {} \\ &+ 45^2 \cdot 0{,}137 + 55^2 \cdot 0{,}132 + 65^2 \cdot 0{,}082 = 1544{,}6. \end{aligned}\]
Выборочная дисперсия (в квадратах тысяч рублей) и стандартное отклонение (в тысячах рублей):
\[\begin{aligned} S^2 &= \overline{X^2} - \overline{X}^2 = 1544{,}6 - 36{,}04^2 = 245{,}7184; \\ S &= \sqrt{245{,}7184} \approx 15{,}675. \end{aligned}\]
Ответ: выборочное среднее месячного дохода \(\overline{X} = 36{,}04\) тыс. р., выборочная дисперсия \(S^2 = 245{,}7184\) (тыс. р.)², стандартное отклонение \(S \approx 15{,}675\) тыс. р.
