Страница 7 номер 9, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Бунимовича. Математика вероятность и статистика
В задачах 7—11 используйте для оценки вероятностей неравенство Чебышёва. Средний размер вклада в отделении банка равен 200 000 р. со стандартным отклонением 150 000 р. Оцените вероятность того, что случайно выбранный вклад не превысит 800 000 р.
\(X\) — размер случайно выбранного вклада, р.: \(E(X) = 200\,000\), стандартное отклонение \(\sigma = 150\,000\), поэтому \(D(X) = 150\,000^2\).
Вклад не превысит \(800\,000\) р. — событие \(X \leqslant 800\,000\); противоположное ему — \(X > 800\,000\). Если \(X > 800\,000\), то \(X - 200\,000 > 600\,000\) и тем более \(|X - 200\,000| \geqslant 600\,000\); по неравенству Чебышёва
\[\begin{aligned} &P(X > 800\,000) \leqslant P(|X - 200\,000| \geqslant 600\,000) \leqslant {} \\ &\leqslant \frac{D(X)}{600\,000^2} = \frac{150\,000^2}{600\,000^2} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}. \end{aligned}\]
Значит,
\[P(X \leqslant 800\,000) = 1 - P(X > 800\,000) \geqslant 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} = 0{,}9375.\]
Ответ: вероятность того, что случайно выбранный вклад не превысит \(800\,000\) р., не меньше \(\frac{15}{16} = 0{,}9375\).
В задачах 7—11 используйте для оценки вероятностей неравенство Чебышёва. Средний размер вклада в отделении банка равен 200 000 р. со стандартным отклонением 150 000 р. Оцените вероятность того, что случайно выбранный вклад не превысит 800 000 р.
Пусть \(X\) — размер случайно выбранного вклада (в рублях). По условию \(E(X) = 200\,000\), а стандартное отклонение \(\sigma = 150\,000\), поэтому \(D(X) = 150\,000^2\).
Событие «вклад не превысит \(800\,000\) р.» — это \(X \leqslant 800\,000\); противоположное ему событие — \(X > 800\,000\). Если \(X > 800\,000\), то \(X - 200\,000 > 600\,000\) и тем более \(|X - 200\,000| \geqslant 600\,000\): событие \(X > 800\,000\) входит в событие \(|X - 200\,000| \geqslant 600\,000\). По неравенству Чебышёва
\[\begin{aligned} &P(X > 800\,000) \leqslant P(|X - 200\,000| \geqslant 600\,000) \leqslant {} \\ &\leqslant \frac{D(X)}{600\,000^2} = \frac{150\,000^2}{600\,000^2} = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}. \end{aligned}\]
Значит,
\[P(X \leqslant 800\,000) = 1 - P(X > 800\,000) \geqslant 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} = 0{,}9375.\]
Отклонение \(600\,000\) р. равно \(4\sigma\), так что граница \(\frac{1}{16}\) — частный случай следствия из неравенства Чебышёва.
Ответ: вероятность того, что случайно выбранный вклад не превысит \(800\,000\) р., не меньше \(\frac{15}{16} = 0{,}9375\).
