Страница 23 номер 53, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = 2\)
\(4 + 2\sqrt{3} > 4 - 2\sqrt{3}\), значит, обе части равенства положительны и оно равносильно равенству их квадратов:
\(\left(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}\right)^{2} = 4,\)
\(4 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{4^{2} - \left(2\sqrt{3}\right)^{2}} + 4 - 2\sqrt{3} = 4,\)
\(8 - 2\sqrt{16 - 12} = 4, 8 - 4 = 4;\)

2) \(\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}} = 3\)

Обозначим левую часть \(x\): \(\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}} = x\), и возведём в третью степень \(\left(\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}}\right)^{3} = x^{3}\)

\(x^{3} = 9 + \sqrt{80} + 9 - \sqrt{80} +\)
\(+ 3\sqrt[3]{81 - 80}\left(\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}}\right) =\)
\(= 18 + 3x\), \(x^{3} - 3x - 18 = 0\), \((x - 3)(x^{2} + 3x + 6) = 0\),
\(x^{2} + 3x + 6 \neq 0\), т.к. \(D = 9 - 24 < 0\), значит, единственный корень - \(x = 3\). Что и требовалось доказать.