Страница 210 номер 712, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Рассматриваются квадратичные функции \(y = x^2 + px + q\), для которых \(p + q = 5\). Докажите, что параболы, являющиеся графиками этих функций, пересекаются в одной точке.
Пусть имеем две параболы с заданными условиями:
\(\begin{cases} y = x^{2} + p_{1}x + q_{1} \\ p_{1} + q_{1} = 5 \end{cases}\) и \(\begin{cases} y = x^{2} + p_{2}x + q_{2} \\ p_{2} + q_{2} = 5 \end{cases}\)
Найдём общие точки этих парабол: в общей точке ординаты равны
\(\left\{ \begin{aligned} &x^{2} + p_{1}x + q_{1} = x^{2} + p_{2}x + q_{2} \\ & p_{1} + q_{1} = p_{2} + q_{2} \end{aligned} \right.\ \Rightarrow \begin{cases} p_{1}x + q_{1} = p_{2}x + q_{2} \\ p_{1} - p_{2} = q_{2} - q_{1} \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} x\left( p_{1} - p_{2} \right) = q_{2} - q_{1} \\ p_{1} - p_{2} = q_{2} - q_{1} \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x\left( q_{2} - q_{1} \right) = q_{2} - q_{1} \\ p_{1} - p_{2} = q_{2} - q_{1} \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x = 1 \\ p_{1} - p_{2} = q_{2} - q_{1} \end{cases}\)
\(q_{2} - q_{1} \neq 0\), так как параболы различны: при \(q_{1} = q_{2}\) было бы и \(p_{1} = p_{2}\)
Сложим уравнения парабол
\(2y = x^{2} + p_{1}x + q_{1} + x^{2} + p_{2}x + q_{2}\)
\(2y = 1 + p_{1} + q_{1} + 1 + p_{2} + q_{2}\)
\(2y = 2 + 5 + 5\)
\(2y = 12\)
\(y = 6\)
В результате имеем одну общую точку \((1;\ 6)\)
