Вопросы после параграфа §22 на странице 215, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа.

Например, последовательность \(2, 7, 12, 17, 22, 27, \ldots\) — арифметическая прогрессия: каждый её член, начиная со второго, на 5 больше предыдущего. Последовательность \(3, 1, -1, -3, -5, -7, \ldots\) — тоже арифметическая прогрессия: к каждому члену прибавляют число \(-2\). Последовательность \(1, 2, 4, 8, 16, \ldots\) арифметической прогрессией не является: второй член больше первого на 1, а третий больше второго на 2.

Ответ: арифметической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Разность арифметической прогрессии — это число, которое прибавляют к каждому члену прогрессии, чтобы получить следующий член. Оно равно разности последующего и предыдущего членов. Разность обозначают буквой \(d\):

\(d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_3 = \ldots\)

Для любого натурального \(n\) выполняется равенство \(a_{n+1} - a_n = d\).

Например, в прогрессии \(2, 7, 12, 17, \ldots\) разность \(d = 7 - 2 = 5\), в прогрессии \(3, 1, -1, -3, \ldots\) разность \(d = 1 - 3 = -2\). Разность может быть положительным числом, отрицательным числом и нулём: в прогрессии \(5, 5, 5, 5, \ldots\) разность \(d = 0\).

Ответ: разностью арифметической прогрессии называют число, равное разности последующего и предыдущего членов прогрессии; его обозначают буквой \(d\).

Чтобы задать арифметическую прогрессию, надо указать её первый член \(a_1\) и разность \(d\). Тогда остальные члены находят друг за другом: второй член получают, прибавив разность к первому, третий — прибавив разность ко второму, и так далее.

Например, если \(a_1 = 1\) и \(d = 2\), то получается арифметическая прогрессия \(1, 3, 5, 7, 9, 11, \ldots\) — последовательность нечётных натуральных чисел. Если \(a_1 = 5\) и \(d = 0\), то получается прогрессия \(5, 5, 5, 5, \ldots\), все члены которой равны между собой.

Ответ: чтобы задать арифметическую прогрессию, надо указать её первый член и разность.

Арифметическую прогрессию, первый член которой равен \(a\), а разность равна \(d\), рекуррентно задают условия

\(a_1 = a,\ a_{n+1} = a_n + d.\)

Первое равенство — начальное условие: оно указывает первый член. Второе равенство — рекуррентная формула: каждый следующий член равен предыдущему, сложенному с разностью \(d\).

Например, арифметическую прогрессию \(2, 7, 12, 17, \ldots\) задают условия \(a_1 = 2,\ a_{n+1} = a_n + 5\):

\(a_2 = a_1 + 5 = 2 + 5 = 7;\)
\(a_3 = a_2 + 5 = 7 + 5 = 12;\)
\(a_4 = a_3 + 5 = 12 + 5 = 17.\)

Ответ: арифметическую прогрессию задают рекуррентно условиями \(a_1 = a\), \(a_{n+1} = a_n + d\), где \(a\) — первый член, \(d\) — разность прогрессии.

Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии \((a_n)\) с разностью \(d\) имеет вид

\(a_n = a_1 + d(n - 1).\)

Чтобы найти \(n\)-й член, к первому члену прибавляют произведение разности и числа, на 1 меньшего, чем номер искомого члена: на пути от первого члена к \(n\)-му разность прибавляют \(n - 1\) раз.

Например, в арифметической прогрессии \(2, 7, 12, 17, \ldots\) первый член \(a_1 = 2\), разность \(d = 5\), поэтому

\(a_{20} = 2 + 5 \cdot (20 - 1) = 2 + 5 \cdot 19 = 97.\)

Ответ: формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии имеет вид \(a_n = a_1 + d(n - 1)\), где \(a_1\) — первый член, \(d\) — разность прогрессии.

В арифметической прогрессии \((a_n)\) разности соседних членов равны, поэтому для любого натурального \(n\), большего 1, выполняется равенство \(a_n - a_{n-1} = a_{n+1} - a_n\). Отсюда \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), то есть

\(a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}.\)

Значит, каждый член прогрессии, у которого есть два соседних члена, равен их среднему арифметическому.

Например, для арифметической прогрессии \(2, 7, 12, 17, \ldots\) получаем:

\(a_2 = \dfrac{a_1 + a_3}{2} = \dfrac{2 + 12}{2} = 7;\)
\(a_3 = \dfrac{a_2 + a_4}{2} = \dfrac{7 + 17}{2} = 12.\)

Ответ: любой член арифметической прогрессии, кроме первого (и последнего, если прогрессия конечна), равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов: \(a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\).