ГДЗ 9 класс Алгебра Мерзляк, Полонский, Якир

9класс

Проверь себя на страницах 197-199, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Глава 3. Элементы прикладной математики. Задание № 4 «Проверьте себя» в тестовой форме. Страницы 197-199, проверь себя

Решение:

1. Катер проплыл по озеру на 5 км больше, чем по реке против течения, затратив на путь по реке на 15 мин больше, чем по озеру. Собственная скорость катера равна 10 км/ч, а скорость течения реки — 2 км/ч. Пусть расстояние, которое проплыл катер по реке, равно \(x\) км. Какое из данных уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии?
А) \(\frac{x + 5}{10} - \frac{x}{8} = 15\); Б) \(\frac{x + 5}{10} - \frac{x}{8} = \frac{1}{4}\); В) \(\frac{x + 5}{10} - \frac{x}{12} = 15\); Г) \(\frac{x + 5}{10} - \frac{x}{12} = \frac{1}{4}\).

Пусть расстояние, которое проплыл катер по реке, равно \(x\) км.

Тогда расстояние по озеру равно \((x + 5)\) км.

Скорость катера против течения \((10 - 2) = 8\) км/ч.

Время катера по озеру \(\frac{x + 5}{10}\)ч,

время катера по реке против течения \(\frac{x}{8}\) ч.

\(15\ \text{мин} = \dfrac{15}{60}\text{ч} = \dfrac{1}{4}\text{ч}\)

Составим уравнение

\(\dfrac{x}{8} - \dfrac{x + 5}{10} = \dfrac{1}{4}\)

По условию на путь по реке затрачено больше времени, а во всех вариантах ответа разность взята в обратном порядке (неточность учебника).

И скорость против течения 8 км/ч, и \(\frac{1}{4}\) ч есть только в варианте Б.

Ответ: Б) \(\frac{x + 5}{10} - \frac{x}{8} = \frac{1}{4}\).

2. Первый рабочий трудился 3 ч, а второй — 4 ч. Вместе они изготовили 44 детали, причём первый рабочий изготавливал за 1 ч на 2 детали меньше, чем второй рабочий за 2 ч. Пусть первый рабочий за 1 ч изготавливал \(x\) деталей, а второй — \(y\) деталей. Какая из данных систем уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии?
А) \(\begin{cases}3x + 4y = 44,\\ 2x - y = 2\end{cases}\); Б) \(\begin{cases}3x + 4y = 44,\\ y - 2x = 2\end{cases}\); В) \(\begin{cases}3x + 4y = 44,\\ x - 2y = 2\end{cases}\); Г) \(\begin{cases}3x + 4y = 44,\\ 2y - x = 2\end{cases}\).

Пусть первый рабочий за 1 ч изготавливал \(x\) деталей, а второй – \(y\) деталей.

Работая вместе, изготовили 44 детали, имеем \(3x + 4y = 44\).

Первый делал за час меньше, чем второй за 2 часа, на 2 детали.

Тогда \(x = 2y - 2\).

Получаем систему уравнений:

\(\begin{cases} 3x + 4y = 44 \\ x = 2y - 2 \end{cases}\)

Ответ: Г) \(\begin{cases} 3x + 4y = 44 \\ 2y - x = 2 \end{cases}\).

3. Два тракториста, работая вместе, могут вспахать поле за 2 ч 40 мин. Если первый тракторист проработает 1 ч, а потом его сменит второй тракторист, который проработает 2 ч, то вспаханной окажется половина поля. Пусть первый тракторист может самостоятельно вспахать поле за \(x\) ч, а второй — за \(y\) ч. Какая из данных систем уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии?
А) \(\begin{cases}x + y = 2{,}4,\\ x + 2y = 0{,}5\end{cases}\); Б) \(\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{8}{3},\\ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{2}\end{cases}\); В) \(\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{8},\\ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{2}\end{cases}\); Г) \(\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 2\frac{2}{3},\\ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{2}\end{cases}\).

Пусть первый тракторист может самостоятельно вспахать поле за \(x\) ч, а второй – за \(y\) ч. Тогда \(\frac{1}{x},\frac{1}{y}\) – производительности трактористов.

\(2\ \text{ч}\ 40\ \text{мин} = 2\dfrac{40}{60}\text{ч} = 2\dfrac{2}{3}\text{ч} = \dfrac{8}{3}\text{ч.}\)

Работая вместе \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8/3}\)

Работая отдельно \(\frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{2}\)

Составим систему уравнений

\(\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{8} \\ \frac{1}{x} + 2 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \end{cases}\)

Ответ: В) \(\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{8} \\ \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{2} \end{cases}\).

4. Морская вода содержит 6 % соли. Сколько килограммов воды надо взять, чтобы получить 48 кг соли?
А) 80 кг; Б) 60 кг; В) 800 кг; Г) 600 кг.

Пусть \(x\) кг – необходимое количество воды.

\(48 = x \cdot \dfrac{6\%}{100\%}\)
\(x = 48 \cdot \dfrac{100}{6} = 800\ \text{кг.}\)

Ответ: В) 800 кг.

5. Французский язык изучают 12 учащихся класса. Сколько процентов учащихся класса изучают французский язык, если всего в классе 30 учащихся?
А) 24 %; Б) 30 %; В) 40 %; Г) 48 %.

Пусть \(x\) – процент «французов» от всего класса.

\(12 = 30 \cdot \dfrac{x}{100}\)
\(x = 12 \cdot \dfrac{100}{30} = 40\)

Ответ: В) 40%.

6. Вкладчик положил в банк 40 000 р. под 10 % годовых. Сколько денег будет на его счёте через два года?
А) 48 400 р.; Б) 48 000 р.; В) 40 800 р.; Г) 44 000 р.

Пусть \(x\) - конечная сумма на счету.

Используем формулу сложного процента.

\(x = 40000 \cdot \left( 1 + \dfrac{10}{100} \right)^{2}\)
\(x = 40000 \cdot 1{,}21 = 48400\) р

Ответ: А) 48400 р.

7. Цена некоторого товара после двух последовательных повышений выросла на 50 %, причём в первый раз цена была повышена на 20 %. На сколько процентов состоялось второе повышение?
А) на 30 %; Б) на 25 %; В) на 20 %; Г) на 15 %.

Пусть \(x\) - второе повышение.

\(C\) – некая начальная цена.

Можно составить уравнение

\(C \cdot \left( 1 + \dfrac{50}{100} \right) = C \cdot \left( 1 + \dfrac{20}{100} \right) \cdot \left( 1 + \dfrac{x}{100} \right)\)
\(\dfrac{1}{100}(100 + 50) = \dfrac{1}{100^{2}}(100 + 20)(100 + x)\)
\(150 \cdot 100 = 120(100 + x)\)
\(120x = 3000\)
\(x = 25\%\)

Ответ: Б) на 25 %.

8. Стул стоил 1500 р. Сначала его цену снизили, а потом повысили на одно и то же количество процентов. После этого стул стал стоить 1440 р. На сколько процентов изменяли каждый раз цену стула?
А) на 20 %; Б) на 15 %; В) на 10 %; Г) на 18 %.

Пусть \(x\) - процент изменения цены.

Формула вычисления цены

\(1440 = 1500\left( 1 - \dfrac{x}{100} \right)\left( 1 + \dfrac{x}{100} \right)\)
\(\dfrac{1440}{1500} = 1 - \dfrac{x^{2}}{100^{2}}\)
\(\dfrac{x^{2}}{100^{2}} = 1 - \dfrac{1440}{1500}\)
\(\dfrac{x^{2}}{100^{2}} = \dfrac{60}{1500}\)
\(x^{2} = \dfrac{100^{2}}{25}\)
\(x > 0\), поэтому
\(x = \dfrac{100}{5} = 20\%\)

Ответ: А) на 20 %.

9. Сплав массой 800 г содержит 15 % меди. Сколько граммов меди надо добавить к этому сплаву, чтобы медь в нём составила 20 %?
А) 50 г; Б) 40 г; В) 30 г; Г) 5 г.

Определим, сколько меди в начальном сплаве.

\(800 \cdot \frac{15\%}{100\%} = 120\) г.

Пусть \(x\) г – количество добавленной меди к сплаву, ее процентное содержание \(20\%\), тогда запишем и решим уравнение.

\(\dfrac{20\%}{100\%} = \dfrac{120 + x}{800 + x}\)
\(120 + x = 0{,}2(800 + x)\)
\(120 + x = 160 + 0{,}2x\)
\(0{,}8x = 40\)
\(x = 50\) г

Ответ: А) 50 г.

10. Запишите в виде двойного неравенства то, что \(x = 12 \pm 0{,}2\).
А) \(11{,}8 \le x \le 12{,}2\); Б) \(12 \le x \le 12{,}2\); В) \(11{,}8 \le x \le 12\); Г) \(11{,}6 \le x \le 12{,}4\).

\(x = 12 \pm 0{,}2\)
\(12 - 0{,}2 \leqslant x \leqslant 12 + 0{,}2\)
\(11{,}8 \leqslant x \leqslant 12{,}2\)

Ответ: А) \(11{,}8 \leqslant x \leqslant 12{,}2\).

11. Известно, что \(x = 23{,}5 \pm 0{,}1\). Какому из данных чисел может быть равным точное значение \(x\)?
А) \(23{,}3\); Б) \(23{,}7\); В) \(24\); Г) \(23{,}6\).

\(x = 23{,}5 \pm 0{,}1\)
\(23{,}5 - 0{,}1 \leqslant x \leqslant 23{,}5 + 0{,}1\)
\(23{,}4 \leqslant x \leqslant 23{,}6\)

Из предложенных вариантов верный только вариант г) 23,6.

Ответ: Г) 23,6.

12. Найдите абсолютную погрешность приближения числа \(5{,}307\) числом \(5{,}31\).
А) \(0{,}003\); Б) \(-0{,}003\); В) \(0{,}03\); Г) \(0{,}004\).

Абсолютная погрешность \(|5{,}307 - 5{,}31| = | - 0{,}003| = 0{,}003\)

Ответ: А) 0,003.

13. В справочнике указано, что плотность серебра равна \(10{,}5\) г/см³. С какой точностью указано приближённое значение плотности серебра?
А) с точностью до \(0{,}01\) г/см³; Б) с точностью до \(0{,}1\) г/см³; В) с точностью до \(0{,}5\) г/см³; Г) с точностью до \(0{,}051\) г/см³.

Точность приближения указана до последнего знака, то есть в данном случае с точностью до \(0{,}1\) г/см\(^{3}\)

Ответ: Б) с точностью до 0,1 г/см\(^{3}\).

14. В справочнике указано, что масса атома натрия равна \(3{,}81 \cdot 10^{-26}\) кг. С какой точностью указано приближённое значение массы атома натрия?
А) с точностью до \(10^{-26}\) кг; Б) с точностью до \(10^{-27}\) кг; В) с точностью до \(10^{-28}\) кг; Г) с точностью до \(10^{-25}\) кг.

\(3{,}81 \cdot 10^{- 26} \Rightarrow 3{,}81 \cdot 10^{- 26} \pm 0{,}01 \cdot 10^{- 26} = 3{,}81 \cdot 10^{- 26} \pm 10^{- 28}\)

Ответ: В) с точностью до \(10^{- 28}\) кг.

15. В справочнике указано, что плотность никеля равна \(8{,}9\) г/см³. Оцените относительную погрешность этого приближения.
А) до 2 %; Б) до \(1{,}1\) %; В) до \(1{,}2\) %; Г) до \(0{,}1\) %.

Приближение \(\pm 0{,}1\) г/см\(^{3}\)

Относительная погрешность не превосходит \(\frac{0{,}1}{8{,}9} \cdot 100\% \approx 1{,}1\%\)

Ответ: Б) до 1,1 %.

16. Найдите среднее значение выборки, состоящей из чисел \(1{,}6;\ 1{,}8;\ 2{,}5;\ 2{,}2;\ 0{,}9\).
А) \(2{,}5\); Б) \(2{,}2\); В) \(1{,}8\); Г) \(2{,}6\).

Всего чисел 5.

Сумма чисел \(1{,}6 + 1{,}8 + 2{,}5 + 2{,}2 + 0{,}9 = 9\)

Среднее значение \(\frac{9}{5} = 1{,}8\)

Ответ: В) 1,8.

17. Укажите медиану выборки 2, 5, 6, 8, 9, 11.
А) 6; Б) 7; В) 8; Г) 9.

Медиана выборки – число, находящееся в середине упорядоченного ряда. На случай двух чисел берется их среднее значение.

Медиана равна \(\frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7\)

Ответ: Б) 7.

18. Учащихся 9 класса опросили, сколько времени они затрачивают на выполнение домашнего задания по алгебре. Были получены такие данные: \(\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline \text{Время выполнения задания, мин} & 15 & 20 & 30 & 45 & 60 \\ \hline \text{Количество учащихся} & 3 & 7 & 6 & 10 & 4 \\ \hline \end{array}\) Чему равна мода полученных данных?
А) 30 мин; Б) 45 мин; В) 10 учащихся; Г) 6 учащихся.

Мода – число, чаще всего повторяющееся в выборке.

Мода равна 45 мин, т.к. имеет наибольшее число учеников.

Ответ: Б) 45 мин.

Номер №691 Страницы 200-201, проверь себя

смотреть все номера