Вопросы после параграфа §21 на странице 207, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Объекты, которые пронумерованы подряд натуральными числами \(1, 2, 3, \ldots, n, \ldots\), образуют последовательность. Например, последовательность образуют месяцы года: январь имеет номер 1, февраль — номер 2, март — номер 3 и так далее до декабря, номер которого равен 12. Последовательности образуют также дни недели, страницы книги, буквы слова.

Ответ: объекты, которые пронумерованы подряд натуральными числами, образуют последовательность.

Объекты, образующие последовательность, называют её членами. У каждого члена последовательности есть свой номер. Например, в последовательности месяцев года январь — первый член, а март — третий; в последовательности простых чисел \(2, 3, 5, 7, 11, \ldots\) число 3 — второй член, а число 11 — пятый.

Ответ: объекты, образующие последовательность, называют членами последовательности.

Член последовательности, имеющий номер \(n\), называют \(n\)-м членом последовательности. Члены последовательности обозначают буквами с индексами \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots\), где индекс указывает номер члена: \(a_1\) — первый член, \(a_2\) — второй, \(a_n\) — \(n\)-й член. Саму последовательность обозначают \((a_n)\).

Например, если \((p_n)\) — последовательность простых чисел \(2, 3, 5, 7, 11, \ldots\), то \(p_1 = 2\), \(p_2 = 3\), \(p_3 = 5\), \(p_4 = 7\), \(p_5 = 11\).

Ответ: член последовательности, имеющий номер \(n\), называют \(n\)-м членом последовательности и обозначают буквой с индексом \(n\), например \(a_n\).

Последовательность называют числовой, если её члены — числа. Примеры числовых последовательностей:

\(1, 2, 3, 4, 5, \ldots\) — последовательность натуральных чисел;
\(2, 4, 6, 8, 10, \ldots\) — последовательность чётных натуральных чисел;
\(19, 38, 57, 76, 95\) — последовательность двузначных чисел, кратных 19.

Последовательность месяцев года или букв слова числовой не является: её члены — не числа.

Ответ: числовой называют последовательность, членами которой являются числа.

Последовательность считают заданной, если указано правило, по которому можно найти любой её член, зная его номер. Таким правилом может быть словесное описание, таблица или формула.

Например, слова «натуральные числа, кратные 5, записанные в порядке возрастания» задают последовательность \(5, 10, 15, 20, \ldots\): её третий член равен 15, а сотый — 500.

Запись \(1, 4, \ldots\) сама по себе последовательность не задаёт: неясно, какие числа стоят на месте трёх точек. Третьим членом может быть и число 7, если каждый следующий член на 3 больше предыдущего, и число 9, если это последовательность квадратов натуральных чисел.

Ответ: последовательность считают заданной, если указано правило, которое позволяет найти её член с любым номером.

Основных способов задания последовательности четыре.

Описательный способ. Словами описывают, как получаются члены последовательности. Например, последовательность \(1, 4, 7, 10, 13, \ldots\) задают слова «первый член равен 1, а каждый следующий на 3 больше предыдущего».

Задание с помощью таблицы. В одной строке таблицы записывают номера, в другой — члены последовательности. Так задают конечные последовательности. Например, последовательность кубов первых пяти натуральных чисел задаёт такая таблица:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline a_n & 1 & 8 & 27 & 64 & 125 \\ \hline \end{array}\]

Задание с помощью формулы \(n\)-го члена. Записывают формулу, которая выражает член последовательности через его номер. Например, формула \(x_n = 2^n\) задаёт последовательность \(2, 4, 8, 16, 32, \ldots\) натуральных степеней числа 2.

Рекуррентный способ. Указывают первый член (или несколько первых членов) и формулу, которая выражает каждый следующий член через предыдущие. Например, условия \(a_1 = 2,\ a_{n+1} = a_n + 3\) задают последовательность \(2, 5, 8, 11, 14, \ldots\), в которой каждый следующий член на 3 больше предыдущего.

Ответ: последовательность можно задать описательно, с помощью таблицы (если последовательность конечна), с помощью формулы \(n\)-го члена и рекуррентно.

Формула \(n\)-го члена последовательности — это формула, которая выражает член последовательности через его номер \(n\). Подставляя в неё вместо \(n\) натуральные числа, находят члены последовательности с этими номерами.

Например, формула \(a_n = 2n - 1\) задаёт последовательность \(1, 3, 5, 7, 9, \ldots\) нечётных натуральных чисел:

\(a_1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1;\)
\(a_2 = 2 \cdot 2 - 1 = 3;\)
\(a_3 = 2 \cdot 3 - 1 = 5.\)

По формуле \(n\)-го члена можно найти член последовательности, зная только его номер: \(a_{50} = 2 \cdot 50 - 1 = 99\), и предыдущие 49 членов для этого вычислять не нужно.

Ответ: формула \(n\)-го члена последовательности — это формула, которая выражает член последовательности через его номер; подставив в неё номер, находят член с этим номером.

Последовательность можно рассматривать как функцию, аргумент которой — номер члена, а значение — сам член последовательности.

Если областью определения функции \(y = f(x)\) является множество натуральных чисел, то функция задаёт бесконечную последовательность \(f(1), f(2), \ldots, f(n), \ldots\), а если областью определения является множество \(n\) первых натуральных чисел, то функция задаёт конечную последовательность \(f(1), f(2), \ldots, f(n)\).

Например, функция \(f(x) = x^2\), областью определения которой является множество натуральных чисел, задаёт последовательность квадратов натуральных чисел \(1, 4, 9, 16, 25, \ldots\): \(f(1) = 1\), \(f(2) = 4\), \(f(3) = 9\) и так далее.

Ответ: функция, областью определения которой является множество натуральных чисел или множество \(n\) первых натуральных чисел, задаёт последовательность; и наоборот, последовательность можно рассматривать как функцию: номеру члена соответствует значение функции — член последовательности с этим номером.

Рекуррентная формула — это формула, которая выражает член последовательности через один или несколько предыдущих членов. Одной такой формулы для задания последовательности мало: нужны ещё начальные условия — равенства, которые указывают первый член или несколько первых членов.

Например, последовательность, первый член которой равен 1, а каждый следующий в 3 раза больше предыдущего, задают условия

\(a_1 = 1,\ a_{n+1} = 3a_n.\)

Первое равенство — начальное условие, второе — рекуррентная формула: она выражает член с номером \(n + 1\) через предыдущий член \(a_n\). По этой формуле члены последовательности вычисляют друг за другом:

\(a_2 = 3a_1 = 3 \cdot 1 = 3;\)
\(a_3 = 3a_2 = 3 \cdot 3 = 9;\)
\(a_4 = 3a_3 = 3 \cdot 9 = 27.\)

Ответ: рекуррентная формула — это формула, которая выражает член последовательности через один или несколько предыдущих членов.