Страница 227 номер 781, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) \(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)} = 1 - \frac{1}{n + 1}\)
\(\dfrac{1}{n(n + 1)} = \dfrac{n + 1 - n}{n(n + 1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1},\)
\(\dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \dfrac{1}{n(n + 1)} =\)
\(= 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \ldots + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1} =\)
\(= 1 - \dfrac{1}{n + 1};\)

2) \(\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \ldots + \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{(n + 1)(n + 2)}\right)\)
\(\dfrac{1}{n(n + 1)(n + 2)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2 + n - n}{n(n + 1)(n + 2)}\right) =\)
\(= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n(n + 1)} - \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)}\right),\)
\(\dfrac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dfrac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \dfrac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \ldots + \dfrac{1}{n(n + 1)(n + 2)} =\)
\(= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} - \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} - \dfrac{1}{4 \cdot 5} +\right.\)
\(\left.+ \ldots + \dfrac{1}{n(n + 1)} - \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)}\right) =\)
\(= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)}\right).\)