Страница 227 номер 779, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Пусть \(m\), \(n\), \(p\), \(q\) — натуральные числа, и пусть значение многочлена \(mx^3 + nx^2 + px + q\) при любом целом \(x\) есть число, делящееся на 5. Доказать, что каждое из чисел \(m\), \(n\), \(p\), \(q\) делится на 5.
Обозначим данное число \(y = mx^{3} + nx^{2} + px + q\).
\(y(0) = q\) – значит \(q\) делится на \(5\);
\(y(1) = m + n + p + q,\)
\(y(-1) = -m + n - p + q,\)
\(y(2) = 8m + 4n + 2p + q;\)
\(y(-1) + y(1) = 2n + 2q\) – делится на \(5\) и \(q\) делится на \(5\). Значит \(n\) также делится на \(5\);
\(y(2) - 2y(-1) = 8m + 4n + 2p + q + 2m - 2n + 2p - 2q =\)
\(= 10m + 2n + 4p - q\) – \(10m\), \(2n\), \(q\) и сама разность делятся на \(5\), значит и \(4p\) делится на \(5\). Т.е. \(p\) делится на \(5\).
\(y(1) = m + n + p + q\) – \(n\), \(p\), \(q\) делятся на \(5\), значит и \(m\) делится на \(5\).
Таким образом каждое из чисел \(m\), \(n\), \(p\), \(q\) делится на \(5\).
