Страница 227 номер 782, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Доказать, что если \(a\), \(b\), \(c\) — попарно различные числа, то при любых значениях \(x\) выполняется равенство: 1) \(\frac{(x - b)(x - c)}{(a - b)(a - c)} + \frac{(x - c)(x - a)}{(b - c)(b - a)} + \frac{(x - a)(x - b)}{(c - a)(c - b)} = 1\); 2) \(a^2 \cdot \frac{(x - b)(x - c)}{(a - b)(a - c)} + b^2 \cdot \frac{(x - c)(x - a)}{(b - c)(b - a)} + c^2 \cdot \frac{(x - a)(x - b)}{(c - a)(c - b)} = x^2\).
1) \(\frac{(x - b)(x - c)}{(a - b)(a - c)} + \frac{(x - c)(x - a)}{(b - c)(b - a)} + \frac{(x - a)(x - b)}{(c - a)(c - b)} = 1\)
Рассмотрим равенство, как уравнение вида \(Ax^{2} + Bx + C = 0\).
Возможны 3 различных решения:
\(1.\enspace x = a:\)
\(\dfrac{(a - b)(a - c)}{(a - b)(a - c)} + \dfrac{(a - c)(a - a)}{(b - c)(b - a)} + \dfrac{(a - a)(a - b)}{(c - a)(c - b)} = 1,\)
\(1 = 1;\)
\(x = b :\)
\(\dfrac{(b - b)(b - c)}{(a - b)(a - c)} + \dfrac{(b - c)(b - a)}{(b - c)(b - a)} + \dfrac{(b - a)(b - b)}{(c - a)(c - b)} = 1,\)
\(1 = 1;\)
\(x = c :\)
\(\dfrac{(c - b)(c - c)}{(a - b)(a - c)} + \dfrac{(c - c)(c - a)}{(b - c)(b - a)} + \dfrac{(c - a)(c - b)}{(c - a)(c - b)} = 1,\)
\(1 = 1.\)
Если хотя бы один из коэффициентов \(A\), \(B\), \(C\) не равен нулю, то решений не больше двух, а их три, значит, \(A = B = C = 0\).
Таким образом равенство верно при любом \(x\);
2) \(a^{2} \cdot \frac{(x - b)(x - c)}{(a - b)(a - c)} + b^{2} \cdot \frac{(x - c)(x - a)}{(b - c)(b - a)} + c^{2} \cdot \frac{(x - a)(x - b)}{(c - a)(c - b)} = x^{2}\)
Левая часть равенства равна правой при \(x = a\), \(x = b\) и \(x = c\).
Как известно, два многочлена не выше второй степени тождественно равны, если они принимают равные значения в трёх различных точках. Таким образом равенство выполняется при любом \(x\).
