Страница 109 номер 290, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

Если \(x = 1\), то обе части равны 0: \({(1 - 1) \cdot (1 + 1 + \ldots + 1) = 0}\), \({1^{n} - 1 = 0}\).

Если \(x = 0\), то обе части равны \(-1\): \((0 - 1) \cdot (0 + \ldots + 0 + 1) = -1\), \(0^{n} - 1 = -1\).

Пусть \(x \neq 0\), \(x \neq 1\).

Докажем, что последовательность чисел 1, … , \(x^{n - 2}, x^{n - 1}\) представляет собой геометрическую прогрессию.

Пусть \(b_{n} = x^{n - 1}\), \(b_{n - 1} = x^{n - 2}\), тогда частное \(\frac{b_{n}}{b_{n - 1}}\) должно не зависеть от \(n\):

\(\dfrac{b_{n}}{b_{n - 1}} = \dfrac{x^{n - 1}}{x^{n - 2}} = \dfrac{x^{n} \cdot x^{2}}{x \cdot x^{n}} = x\)

Таким образом частное \(\frac{b_{n}}{b_{n - 1}}\) не зависит от \(n\) и следовательно данная последовательность чисел является геометрической прогрессией со знаменателем \(x\).

\(q = x\), \(b_{1} = 1\), \(b_{n} = x^{n - 1}\)

По формуле суммы \(n\) первых членов геометрической прогрессии имеем:

\(S_{n} = \dfrac{b_{1} \cdot \left(1 - q^{n}\right)}{1 - q}\)

Подставим сюда значения для \(b_{1}\) и \(q\):

\(S_{n} = \frac{1 \cdot \left(1 - x^{n}\right)}{1 - x} = \frac{1 - x^{n}}{1 - x}\), где \(S_{n} = 1 +\)… \(+x^{n - 2} + x^{n - 1} = x^{n - 1} + x^{n - 2} +\) … + 1

Таким образом мы получаем :

(\(x^{n - 1} + x^{n - 2} +\) … \(+1) = \frac{1 - x^{n}}{1 - x}\)

Выразим отсюда \((1 - x^{n})\):

\(1 - x^{n} = (1 - x) \cdot (x^{n - 1} + x^{n - 2} +\) … \(+1)| \cdot (-1\))
\(x^{n} - 1 = (x - 1) \cdot (x^{n - 1} + x^{n - 2} +\) … + 1), что и требовалось доказать.