Страница 106 номер 281, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Доказать, что если \(x \ne 0\), то числа \(\sqrt{3x}\), \(x\sqrt{3}\), \(x\sqrt{3x}\) являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.
По определению геометрической прогрессии:
\(b_{2} = b_{1} \cdot q\), \(b_{3} = b_{2} \cdot q\)
\(q = \frac{b_{2}}{b_{1}}\), \(q = \frac{b_{3}}{b_{2}} \Rightarrow \frac{b_{2}}{b_{1}} = \frac{b_{3}}{b_{2}}\)
Докажем, что выполняется вышеуказанное равенство:
Пусть \(b_{1} = \sqrt{3x}\), \(b_{2} = x\sqrt{3}\), \(b_{3} = x\sqrt{3x}\)
При этом \(x > 0\) (\(x \neq 0\), а \(\sqrt{3x}\) имеет смысл при \(x \geqslant 0\)), тогда:
\(q = \dfrac{b_{2}}{b_{1}} = \dfrac{x\sqrt{3}}{\sqrt{3x}} = \dfrac{\sqrt{3x^{2}}}{\sqrt{3x}} = \sqrt{\dfrac{3x^{2}}{3x}} = \sqrt{x}\)
\(q = \dfrac{b_{3}}{b_{2}} = \dfrac{x\sqrt{3x}}{x\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3x^{2} \cdot x}}{\sqrt{3x^{2}}} = \sqrt{\dfrac{3x^{3}}{3x^{2}}} = \sqrt{x}\)
Отсюда следует, что \(\frac{b_{2}}{b_{1}} = \frac{b_{3}}{b_{2}} = q = \sqrt{x}\), что и требовалось доказать
