Страница 109 номер 288, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
В геометрической прогрессии найти \(b_5\) и \(S_4\), если: 1) \(b_2 = 15\), \(b_3 = 25\); 2) \(b_2 = 14\), \(b_4 = 686\), \(q > 0\).
1) \(b_{2} = 15\), \(b_{3} = 25\)
По определению геометрической прогрессии:
\(b_{2} = b_{1} \cdot q\), \(b_{3} = b_{2} \cdot q\)
\(q = \dfrac{b_{3}}{b_{2}} = \dfrac{25}{15} = \dfrac{5}{3}\)
\(b_{1} = b_{2} : q = 15 : \dfrac{5}{3} = 15 \cdot \dfrac{3}{5} = 3 \cdot 3 = 9\)
По формуле \(n\)-го члена геометрической прогрессии найдем \(b_{5}\):
\(b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}\)
\(b_{5} = 9 \cdot \left(\dfrac{5}{3}\right)^{5 - 1} = 9 \cdot \left(\dfrac{5}{3}\right)^{4} = \dfrac{3^{2} \cdot 5^{4}}{3^{4}} = \dfrac{5^{4}}{3^{2}} = \dfrac{625}{9} = 69\dfrac{4}{9}\)
По формуле \(S_{n} = \frac{b_{1} \cdot \left(1 - q^{n}\right)}{1 - q}\) найдем \(S_{4}\):
\((n = 4)S_{4} = \dfrac{9 \cdot \left(1 - \left(\frac{5}{3}\right)^{4}\right)}{1 - \dfrac{5}{3}} = \dfrac{9 \cdot \left(1 - \frac{625}{81}\right)}{\dfrac{3}{3} - \dfrac{5}{3}} = \dfrac{9 \cdot \left(\frac{81}{81} - \frac{625}{81}\right)}{\left(-\dfrac{2}{3}\right)} =\)
\(= \dfrac{9 \cdot \left(-\frac{544}{81}\right)}{\left(-\dfrac{2}{3}\right)} = \dfrac{9 \cdot 544 \cdot 3}{81 \cdot 2} = \dfrac{544}{6} = \dfrac{272}{3} = 90\dfrac{2}{3}\)
Ответ: \(b_{5} = 69\frac{4}{9}\), \(S_{4} = 90\frac{2}{3}\) .
2) \(b_{2} = 14\), \(b_{4} = 686\), \(q > 0\)
По определению геометрической прогрессии:
\(b_{2} = b_{1} \cdot q\), \(b_{4} = b_{1} \cdot q^{3}\)
Подставив сюда данные значения для \(b_{2}\), \(b_{4}\) получим систему уравнений относительно \(b_{1}\) и \(q\):
\(\begin{cases}14 = b_{1} \cdot q \\ 686 = b_{1} \cdot q^{3}\end{cases}\)
Выразим из первого уравнения системы \(b_{1}\):
\(b_{1} = \dfrac{14}{q}\)
Подставим полученное значение для \(b_{1}\) во второе уравнение системы:
\(686 = \dfrac{14}{q} \cdot q^{3}\)
\(14q^{2} = 686\)
\(q^{2} = \dfrac{686}{14}\)
\(q^{2} = 49\)
\(q = 7\) (т.к по условию задачи \(q > 0\))
\(b_{1} = \dfrac{14}{q} = \dfrac{14}{7} = 2\)
\(b_{5} = b_{1} \cdot q^{4} = 2 \cdot 7^{4} = 2 \cdot 2401 = 4802\)
По формуле \(S_{n} = \frac{b_{1} \cdot \left(1 - q^{n}\right)}{1 - q}\) найдем \(S_{4}\):
\((n = 4)S_{4} = \dfrac{2 \cdot \left(1 - 7^{4}\right)}{1 - 7} = \dfrac{2 \cdot (1 - 2401)}{(-6)} =\)
\(= \dfrac{2 \cdot (-2400)}{\left(-6\right)} = 400 \cdot 2 = 800\)
Ответ: \(b_{5} = 4802\), \(S_{4} = 800\).
