Страница 100 номер 267, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

Преобразуем следующим образом формулу суммы \(n\) первых членов арифметической прогрессии:

\(S_{n} = \dfrac{\left(a_{1} + a_{n}\right) \cdot n}{2} = \dfrac{\left(a_{1} + a_{1} + \left(n - 1\right) \cdot d\right) \cdot n}{2} =\)
\(= \dfrac{\left(2a_{1} + \left(n - 1\right) \cdot d\right) \cdot n}{2}\)

Тогда для \(n = 12\), \(n = 8\) и \(n = 4\) мы имеем:

\(S_{12} = \dfrac{\left(2a_{1} + \left(12 - 1\right) \cdot d\right) \cdot 12}{2} = 6\left(2a_{1} + 11d\right) = 12a_{1} + 66d\)
\(S_{8} = \dfrac{\left(2a_{1} + \left(8 - 1\right) \cdot d\right) \cdot 8}{2} = 4\left(2a_{1} + 7d\right) = 8a_{1} + 28d\)
\(S_{4} = \dfrac{\left(2a_{1} + \left(4 - 1\right) \cdot d\right) \cdot 4}{2} = 2\left(2a_{1} + 3d\right) = 4a_{1} + 6d\)
\(3(S_{8} - S_{4}) = 3(8a_{1} + 28d - (4a_{1} + 6d)) = 3(8a_{1} + 28d - 4a_{1} - 6d) =\)
\(= 3\left(4a_{1} + 22d\right) = 12a_{1} + 66d = S_{12}\) – что и требовалось доказать