Страница 105 номер 270, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) \(b_{n} = 3 \cdot 2^{n}\)

Отметим, что \(b_{n} = 3 \cdot 2^{n} \neq 0\) при всех \(n\)

Требуется доказать, что частное \(\frac{b_{n + 1}}{b_{n}}\) – одно и то же число для всех \(n\) (не зависит от \(n\))

\(\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{3 \cdot 2^{n + 1}}{3 \cdot 2^{n}} = \frac{3 \cdot 2^{n} \cdot 2}{3 \cdot 2^{n}} = 2 \Rightarrow\) частное \(\frac{b_{n + 1}}{b_{n}}\) не зависит от \(n\) и данная последовательность является геометрической

2) \(b_{n} = 5^{n + 3}\)

Отметим, что \(b_{n} = 5^{n + 3} \neq 0\) при всех \(n\)

Требуется доказать, что частное \(\frac{b_{n + 1}}{b_{n}}\) – одно и то же число для всех \(n\) (не зависит от \(n\))

\(\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{5^{n + 1 + 3}}{5^{n + 3}} = \frac{5^{n} \cdot 5 \cdot 5^{3}}{5^{n} \cdot 5^{3}} = 5 \Rightarrow\) частное \(\frac{b_{n + 1}}{b_{n}}\) не зависит от \(n\) и данная последовательность является геометрической

3) \(b_{n} = \left(\frac{1}{3}\right)^{n - 2}\)

Отметим, что \(b_{n} = \left(\frac{1}{3}\right)^{n - 2} \neq 0\) при всех \(n\)

Требуется доказать, что частное \(\frac{b_{n + 1}}{b_{n}}\) – одно и то же число для всех \(n\) (не зависит от \(n\))

\(\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{n + 1 - 2}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{n - 2}} = \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{n - 2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)}{\left(\frac{1}{3}\right)^{n - 2}} = \frac{1}{3} \Rightarrow\) частное \(\frac{b_{n + 1}}{b_{n}}\) не зависит от \(n\) и данная последовательность является геометрической

4) \(b_{n} = \frac{1}{5^{n - 1}}\)

Отметим, что \(b_{n} = \frac{1}{5^{n - 1}} \neq 0\) при всех \(n\)

Требуется доказать, что частное \(\frac{b_{n + 1}}{b_{n}}\) – одно и то же число для всех \(n\) (не зависит от \(n\))

\(\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{1}{5^{n - 1 + 1}} : \frac{1}{5^{n - 1}} = \frac{1}{5^{n - 1} \cdot 5} \cdot \frac{5^{n - 1}}{1} = \frac{5^{n - 1}}{5^{n - 1} \cdot 5} = \frac{1}{5} \Rightarrow\) частное \(\frac{b_{n + 1}}{b_{n}}\) не зависит от \(n\) и данная последовательность является геометрической