Страница 109 номер 287, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

1) \(1 + 2 + 4 +\) … + 128
\(b_{1} = 1\)
\(b_{2} = 2\)
\(q = \dfrac{b_{2}}{b_{1}} = \dfrac{2}{1} = 2\)
\(b_{n} = 128\)

Используя формулу \(b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}\) найдем \(n\):

\(128 = 1 \cdot 2^{n - 1}\)
\(\dfrac{2^{n}}{2} = 128\)
\(2^{n} = 128 \cdot 2 = 256\)
\(2^{n} = 2^{8} \Rightarrow n = 8\)

Воспользуемся формулой суммы \(n\) первых членов геометрической прогрессии:

\(S_{n} = \dfrac{b_{1} \cdot (1 - q^{n})}{1 - q}\)
\((n = 8)S_{8} = \dfrac{1 \cdot (1 - 2^{8})}{1 - 2} = (-1) \cdot (1 - 2^{8}) =\)
\(= (-1) \cdot (1 - 256) = -(-255) = 255\)

Ответ: \(S_{8} = 255\)

2) \(1 + 3 + 9 +\) … + 243
\(b_{1} = 1\)
\(b_{2} = 3\)
\(q = \dfrac{b_{2}}{b_{1}} = \dfrac{3}{1} = 3\)
\(b_{n} = 243\)

Используя формулу \(b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}\) найдем \(n\):

\(243 = 1 \cdot 3^{n - 1}\)
\(\dfrac{3^{n}}{3} = 243\)
\(3^{n} = 243 \cdot 3 = 3^{5} \cdot 3\)
\(3^{n} = 3^{6} \Rightarrow n = 6\)

Воспользуемся формулой суммы \(n\) первых членов геометрической прогрессии:

\(S_{n} = \dfrac{b_{1} \cdot (1 - q^{n})}{1 - q}\)
\((n = 6)S_{6} = \dfrac{1 \cdot (1 - 3^{6})}{1 - 3} = \dfrac{1 - 729}{-2} = \dfrac{(-728)}{(-2)} = 364\)

Ответ: \(S_{6} = 364\)

3) \(-1 + 2 - 4 +\) … + 128
\(b_{1} = -1\)
\(b_{2} = 2\)
\(q = \dfrac{b_{2}}{b_{1}} = \dfrac{2}{(-1)} = -2\)
\(b_{n} = 128\)

Используя формулу \(b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}\) найдем \(n\):

\(128 = (-1) \cdot (-2)^{n - 1}\)
\(\dfrac{(-2)^{n}}{-2} = -128\)
\((-2)^{n} = (-128) \cdot (-2) = 256\)
\((-2)^{n} = (-2)^{8} \Rightarrow n = 8\)

Воспользуемся формулой суммы \(n\) первых членов геометрической прогрессии:

\(S_{n} = \dfrac{b_{1} \cdot (1 - q^{n})}{1 - q}\)
\((n = 8)S_{8} = \dfrac{(-1) \cdot (1 - (-2)^{8})}{1 + 2} = \dfrac{\left(-1\right)(1 - 256)}{3} = \dfrac{255}{3} = 85\)

Ответ: \(S_{8} = 85\)

4) \(5 - 15 + 45 -\) … + 405
\(b_{1} = 5\)
\(b_{2} = -15\)
\(q = \dfrac{b_{2}}{b_{1}} = \dfrac{-15}{5} = -3\)
\(b_{n} = 405\)

Используя формулу \(b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}\) найдем \(n\):

\(405 = 5 \cdot (-3)^{n - 1}\)
\(\dfrac{(-3)^{n}}{-3} = \dfrac{405}{5}\)
\((-3)^{n} = \dfrac{405 \cdot (-3)}{5} = -243\)
\((-3)^{n} = (-3)^{5} \Rightarrow n = 5\)

Воспользуемся формулой суммы \(n\) первых членов геометрической прогрессии:

\(S_{n} = \dfrac{b_{1} \cdot (1 - q^{n})}{1 - q}\)
\((n = 5)S_{5} = \dfrac{5 \cdot (1 - (-3)^{5})}{1 + 3} = \dfrac{5 \cdot (1 + 243)}{4} = \dfrac{5 \cdot 244}{4} = 305\)

Ответ: \(S_{5} = 305\)