Страница 106 номер 279, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Дан квадрат со стороной 4 см. Середины его сторон являются вершинами второго квадрата. Середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата и т. д. Доказать, что последовательность площадей этих квадратов является геометрической прогрессией. Найти площадь седьмого квадрата.
Пусть \(b_{n}\) – сторона \(n\)-го квадрата
Тогда по теореме Пифагора:
\(b_{n}^{2} = \left(\dfrac{b_{n - 1}}{2}\right)^{2} + \left(\dfrac{b_{n - 1}}{2}\right)^{2}\)
\(b_{n}^{2} = 2 \cdot \left(\dfrac{b_{n - 1}}{2}\right)^{2} = 2 \cdot \dfrac{\left(b_{n - 1}\right)^{2}}{2^{2}}\)
\(b_{n}^{2} = 2 \cdot \dfrac{\left(b_{n - 1}\right)^{2}}{4}\)
\(b_{n}^{2} = \dfrac{\left(b_{n - 1}\right)^{2}}{2}\)
Так как \(b_{n} > 0\), то \(b_{n} = \frac{b_{n - 1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot b_{n - 1}\)
По определению геометрической прогрессии:
\(b_{n} = q \cdot b_{n - 1}\)
Значит, последовательность сторон квадратов образует геометрическую прогрессию со знаменателем \(q = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(b_{1} = 4\) см, \(q = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
По формуле \(b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}\) найдем \(b_{7}\):
\(b_{7} = 4 \cdot \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{7 - 1} = 4 \cdot \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{6} =\)
\(= \dfrac{4}{\left(\sqrt{2}\right)^{6}} = \dfrac{4}{2^{\frac{6}{2}}} = \dfrac{4}{2^{3}} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\text{ см}\)
По формуле \(S_{n} = S_{1} \cdot q^{n - 1}\) найдем площадь седьмого квадрата:
\(S_{1} = b_{1}^{2} = 4^{2} = 16\text{ см }^{2}\)
\(S_{7} = S_{1} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{6} = 16 \cdot \dfrac{1}{64} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\text{ см }^{2}\)
\(S_{n} = b_{n}^{2}\)
\(S_{n - 1} = b_{n - 1}^{2} \Rightarrow S_{n} = \dfrac{1}{2} \cdot S_{n - 1}\)
Значит последовательность площадей квадратов является геометрической прогрессией со знаменателем \(q = \frac{1}{2}\)
Ответ: площадь седьмого квадрата равна 0,25 см\(^{2}\)
