Страница 100 номер 266, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением

Преобразуем следующим образом формулу суммы \(n\) первых членов арифметической прогрессии:

\(S_{n} = \frac{\left(a_{1} + a_{n}\right) \cdot n}{2} = \frac{\left(a_{1} + a_{1} + \left(n - 1\right) \cdot d\right) \cdot n}{2} = \frac{\left(2a_{1} + \left(n - 1\right) \cdot d\right) \cdot n}{2},\) тогда
\(S_{5} = \dfrac{\left(2a_{1} + \left(5 - 1\right) \cdot d\right) \cdot 5}{2} = \dfrac{10a_{1} + 20d}{2} = 5a_{1} + 10d\)
\(S_{10} = \dfrac{\left(2a_{1} + \left(10 - 1\right) \cdot d\right) \cdot 10}{2} = 5\left(2a_{1} + 9d\right) = 10a_{1} + 45d\)
\(S_{5} = 5a_{1} + 10d\), \(S_{10} = 10a_{1} + 45d\)

Подставив в полученные выражения значения \(S_{5}\) и \(S_{10}\), получим систему уравнений относительно \(a_{1}\) и \(d\):

\(\begin{cases}65 = 5a_{1} + 10d \\ 230 = 10a_{1} + 45d\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}130 = 10a_{1} + 20d \\ 230 = 10a_{1} + 45d\end{cases}\)

Вычтем из второго уравнения системы первое:

\(100 = 25 \cdot d\)
\(d = 100 : 25\)
\(d = 4\)

Подставим значение \(d\) в первое уравнение системы

\(65 = 5a_{1} + 10d = 5a_{1} + 10 \cdot 4 = 5a_{1} + 40\)
\(5a_{1} = 65 - 40\)
\(5a_{1} = 25\)
\(a_{1} = 25 : 5\)
\(a_{1} = 5\)

Ответ: \(a_{1} = 5\), \(d = 4\)