Страница 109 номер 292, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
В геометрической прогрессии найти: 1) \(q\), если \(b_1 = 1\) и \(b_3 + b_5 = 90\); 2) \(q\), если \(b_2 = 3\) и \(b_4 + b_6 = 60\); 3) \(S_{10}\), если \(b_1 - b_3 = 15\) и \(b_2 - b_4 = 30\); 4) \(S_5\), если \(b_3 - b_1 = 24\) и \(b_5 - b_1 = 624\).
1) \(q\), если \(b_{1} = 1\) и \(b_{3} + b_{5} = 90\)
По формуле \(b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}\) имеем:
\(b_{3} = b_{1} \cdot q^{2}\), \(b_{5} = b_{1} \cdot q^{4}\)
\(b_{1} \cdot q^{2} + b_{1} \cdot q^{4} = 90\)
\(q^{2} + q^{4} - 90 = 0\)
\(q^{4} + q^{2} - 90 = 0\)
Введем новую переменную \(x = q^{2}\), тогда наше уравнение примет вид:
\(x^{2} + x - 90 = 0\)
Воспользовавшись теоремой Виета найдем корни данного квадратного уравнения:
\(\begin{cases}x_{1} \cdot x_{2} = -90 \\ x_{1} + x_{2} = -1\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_{1} = -10 \\ x_{2} = 9\end{cases}\)
\(q^{2} = -10\) – не может быть
\(q^{2} = 9\)
\(q = \pm \sqrt{9} = \pm 3\)
Ответ: \(q = \pm 3\).
2) \(q\), если \(b_{2} = 3\) и \(b_{4} + b_{6} = 60\)
По формуле \(b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}\) имеем:
\(b_{4} = b_{1} \cdot q^{3}\), \(b_{6} = b_{1} \cdot q^{5}\)
По определению геометрической прогрессии:
\(b_{2} = b_{1} \cdot q\)
\(b_{1} = \dfrac{b_{2}}{q} = \dfrac{3}{q}\)
\(b_{1} \cdot q^{3} + b_{1} \cdot q^{5} = 60\)
\(b_{1} \cdot (q^{3} + q^{5}) = 60\)
Подставим сюда полученное значение \(b_{1}\):
\(\dfrac{3}{q} \cdot (q^{3} + q^{5}) = 60\)
\(3q^{2} + 3q^{4} - 60 = 0| : 3\)
\(q^{4} + q^{2} - 20 = 0\)
Введем новую переменную \(x = q^{2}\), тогда наше уравнение примет вид:
\(x^{2} + x - 20 = 0\)
\(\begin{cases}x_{1} \cdot x_{2} = -20 \\ x_{1} + x_{2} = -1\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_{1} = -5 \\ x_{2} = 4\end{cases}\)
\(q^{2} = -5\)– не может быть
\(q^{2} = 4\)
\(q = \pm \sqrt{4} = \pm 2\)
Ответ: \(q = \pm 2\).
3) \(S_{10}\), если \(b_{1} - b_{3} = 15\) и \(b_{2} - b_{4} = 30\)
По формуле суммы \(n\) первых членов геометрической прогрессии:
\(S_{n} = \dfrac{b_{1} \cdot \left(1 - q^{n}\right)}{1 - q}\)
\(S_{10} = \dfrac{b_{1} \cdot \left(1 - q^{10}\right)}{1 - q}\)
По формуле \(b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}\) имеем:
\(b_{3} = b_{1} \cdot q^{2}\), \(b_{2} = b_{1} \cdot q\), \(b_{4} = b_{1} \cdot q^{3}\)
\(b_{1} - b_{1} \cdot q^{2} = 15\)
\(b_{1}(1 - q^{2}) = 15\)
\(b_{1} = \dfrac{15}{1 - q^{2}}\)
\(b_{1}q - b_{1} \cdot q^{3} = 30\)
\(b_{1} \cdot (q - q^{3}) = 30\)
Подставим сюда полученное значение \(b_{1}\) и получим уравнение с неизвестным \(q\):
\(\dfrac{15}{1 - q^{2}} \cdot \left(q - q^{3}\right) = 30\)
\(\dfrac{15q \cdot \left(1 - q^{2}\right)}{1 - q^{2}} = 30\)
\(15q = 30\)
\(q = \dfrac{30}{15}\)
\(q = 2\)
\(b_{1} = \dfrac{15}{1 - q^{2}} = \dfrac{15}{1 - 2^{2}} = \dfrac{15}{1 - 4} = \dfrac{15}{-3} = -5\)
\(S_{10} = \dfrac{\left(-5\right) \cdot \left(1 - 2^{10}\right)}{1 - 2} = \dfrac{\left(-5\right) \cdot \left(1 - 1024\right)}{\left(-1\right)} = 5 \cdot (-1023) = -5115\)
Ответ: \(S_{10} = -5115\).
4) \(S_{5}\), если \(b_{3} - b_{1} = 24\) и \(b_{5} - b_{1} = 624\)
По формуле суммы \(n\) первых членов геометрической прогрессии:
\(S_{n} = \dfrac{b_{1} \cdot \left(1 - q^{n}\right)}{1 - q}\)
\(S_{5} = \dfrac{b_{1} \cdot \left(1 - q^{5}\right)}{1 - q}\)
По формуле \(b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}\) имеем:
\(b_{3} = b_{1} \cdot q^{2}\), \(b_{5} = b_{1} \cdot q^{4}\)
Таким образом мы получили систему уравнений относительно \(b_{1}\) и \(q\):
\(\begin{cases}b_{1} \cdot q^{4} - b_{1} = 624 \\ b_{1} \cdot q^{2} - b_{1} = 24\end{cases}\)
\(b_{1} \cdot q^{2} - b_{1} = 24\)
\(b_{1} \cdot (q^{2} - 1) = 24\)
Преобразуем первое уравнение системы к следующему виду:
\(b_{1} \cdot (q^{4} - 1) = 624\)
Разложим \((q^{4} - 1)\) по формуле разности квадратов:
\(q^{4} - 1 = (q^{2})^{2} - 1 = (q^{2} - 1) \cdot (q^{2} + 1)\)
\(b_{1} \cdot (q^{2} - 1) \cdot (q^{2} + 1) = 624\)
Т.к \(b_{1} \cdot (q^{2} - 1) = 24\), то
\(24 \cdot (q^{2} + 1) = 624| : 24\)
\(q^{2} + 1 = 26\)
\(q^{2} = 25\)
\(q = \pm 5\)
\(b_{1} \cdot (q^{2} - 1) = 24\)
\(b_{1} = \dfrac{24}{q^{2} - 1} = \dfrac{24}{25 - 1} = \dfrac{24}{24} = 1\)
Если \(q = -5\), \(S_{5} = \frac{b_{1} \cdot \left(1 - q^{5}\right)}{1 - q} = \frac{1 \cdot (1 - (-5)^{5})}{1 + 5} = \frac{1 + 3125}{6} = \frac{3126}{6} = 521\)
Если \(q = 5\), \(S_{5} = \frac{b_{1} \cdot \left(1 - q^{5}\right)}{1 - q} = \frac{1 \cdot (1 - 5^{5})}{1 - 5} = \frac{1 - 3125}{-4} = \frac{-3124}{-4} = 781\)
Ответ: \(q = -5, S_{5} = 521\); \(q = 5, S_{5} = 781\).
