Страница 108 номер 282, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Найти сумму \(n\) первых членов геометрической прогрессии, если: 1) \(b_1 = \frac{1}{2}\), \(q = 2\), \(n = 6\); 2) \(b_1 = -2\), \(q = \frac{1}{2}\), \(n = 5\); 3) \(b_1 = 1\), \(q = -\frac{1}{3}\), \(n = 4\); 4) \(b_1 = -5\), \(q = -\frac{2}{3}\), \(n = 5\); 5) \(b_1 = 6\), \(q = 1\), \(n = 200\); 6) \(b_1 = -4\), \(q = 1\), \(n = 100\).
1) \(b_{1} = \frac{1}{2}\);
\(q = 2\), \(n = 6\)
По формуле \(S_{n} = \frac{b_{1} \cdot (1 - q^{n})}{1 - q}\) находим:
\(S_{n} = \dfrac{\frac{1}{2} \cdot (1 - 2^{6})}{1 - 2} = \dfrac{\frac{1}{2} \cdot (1 - 64)}{-1} = \dfrac{-(-63)}{2} = \dfrac{63}{2} = 31{,}5\)
Ответ: \(S_{n} = 31{,}5\)
2) \(b_{1} = -2\);
\(q = \frac{1}{2}\), \(n = 5\)
По формуле \(S_{n} = \frac{b_{1} \cdot (1 - q^{n})}{1 - q}\) находим:
\(S_{n} = \dfrac{-2 \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{5}\right)}{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{-2 \cdot \left(1 - \frac{1}{32}\right)}{\dfrac{1}{2}} =\)
\(= 2 \cdot \left(-2\right) \cdot \left(\dfrac{32}{32} - \dfrac{1}{32}\right) = 2 \cdot \left(-2\right) \cdot \dfrac{31}{32} =\)
\(= \dfrac{\left(-4\right) \cdot 31}{32} = -\dfrac{124}{32} = -\dfrac{31}{8} = -3\dfrac{7}{8}\)
Ответ: \(S_{n} = -3\frac{7}{8}\)
3) \(b_{1} = 1\);
\(q = -\frac{1}{3}\), \(n = 4\)
По формуле \(S_{n} = \frac{b_{1} \cdot (1 - q^{n})}{1 - q}\) находим:
\(S_{n} = \dfrac{1 \cdot \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^{4}\right)}{1 - \left(-\dfrac{1}{3}\right)} = \dfrac{\left(1 - \frac{1}{81}\right)}{1 + \dfrac{1}{3}} = \dfrac{\frac{81}{81} - \frac{1}{81}}{\dfrac{3}{3} + \dfrac{1}{3}} = \dfrac{80}{81} : \dfrac{4}{3} = \dfrac{80}{81} \cdot \dfrac{3}{4} =\)
\(= \dfrac{80 \cdot 3}{81 \cdot 4} = \dfrac{20}{27}\)
Ответ: \(S_{n} = \frac{20}{27}\)
4) \(b_{1} = -5\);
\(q = -\frac{2}{3}\), \(n = 5\)
По формуле \(S_{n} = \frac{b_{1} \cdot (1 - q^{n})}{1 - q}\) находим:
\(S_{n} = \dfrac{(-5) \cdot \left(1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^{5}\right)}{1 - \left(-\dfrac{2}{3}\right)} = \dfrac{\left(-5\right)\left(1 + \frac{32}{243}\right)}{1 + \dfrac{2}{3}} =\)
\(= \dfrac{\left(-5\right) \cdot 275}{243} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{\left(-5\right) \cdot 275 \cdot 3}{243 \cdot 5} = -\dfrac{275}{81} = -3\dfrac{32}{81}\)
Ответ: \(S_{n} = -3\frac{32}{81}\)
5) \(b_{1} = 6\);
\(q = 1\), \(n = 200\)
Так как \(q = 1\), то сумма \(n\) первых членов геометрической прогрессии равна \(S_{n} = b_{1} \cdot n\)
\(S_{n} = 6 \cdot 200 = 1200\)
Ответ: \(S_{n} = 1200\)
6) \(b_{1} = -4\);
\(q = 1\), \(n = 100\)
Так как \(q = 1\), то сумма \(n\) первых членов геометрической прогрессии равна \(S_{n} = b_{1} \cdot n\)
\(S_{n} = (-4) \cdot 100 = -400\)
Ответ: \(S_{n} = -400\)
